Question

Un barril cilíndrico de radio $4$ pies y altura $10$ pies está lleno de agua. Un cubo sólido de lado $8$ pies se coloca dentro del barril de modo que la diagonal del cubo quede vertical. El volumen de agua así desplazado es $v$ pies cúbicos. Halla $v^2.$

A cylindrical barrel with radius $4$ feet and height $10$ feet is full of water. A solid cube with side length $8$ feet is set into the barrel so that the diagonal of the cube is vertical. The volume of water thus displaced is $v$ cubic feet. Find $v^2.$

Respuesta

Solución:

El volumen desplazado es igual al volumen de la parte del cubo que queda debajo del plano del borde del barril. Por simetría, esa región es un tetraedro cortado de la esquina inferior del cubo: tres aristas mutuamente perpendiculares de igual longitud $\ell$ a lo largo de las aristas del cubo, rematadas por un triángulo equilátero en el plano del borde. La sección equilátera está inscrita en el círculo del borde de radio $4,$ así que su lado tiene longitud $4\sqrt{3},$ y por lo tanto $\ell = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}.$

Tomando una de las caras rectángulas isósceles como base, el volumen es $\begin{aligned} &\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\ell^2\right)\ell = \frac{\ell^3}{6} \\ &= \frac{(2\sqrt{6})^3}{6} \\ &= \frac{48\sqrt{6}}{6} = 8\sqrt{6}. \end{aligned}$

Así $v = 8\sqrt{6}$ y $v^2 = 64 \cdot 6 = 384.$

The displaced volume equals the volume of the part of the cube lying below the plane of the barrel's rim. By symmetry that region is a tetrahedron cut from the bottom corner of the cube: three mutually perpendicular edges of equal length $\ell$ along the cube's edges, capped by an equilateral triangle in the rim plane. The equilateral cross-section is inscribed in the rim circle of radius $4,$ so its side length is $4\sqrt{3},$ and therefore $\ell = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}.$

Taking one of the right isosceles faces as the base, the volume is $\begin{aligned} &\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\ell^2\right)\ell = \frac{\ell^3}{6} \\ &= \frac{(2\sqrt{6})^3}{6} \\ &= \frac{48\sqrt{6}}{6} = 8\sqrt{6}. \end{aligned}$

Thus $v = 8\sqrt{6}$ and $v^2 = 64 \cdot 6 = 384.$

2015 AIME II Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años