Question

Un programa de concursos ofrece a un participante tres premios $A,$ $B$ y $C,$ cada uno de los cuales vale un número entero de dólares desde $\$1$ hasta $\$9999$ inclusive. El participante gana los premios adivinando correctamente el precio de cada premio en el orden $A,$ $B,$ $C.$ Como pista, se dan los dígitos de los tres precios. Un día concreto, los dígitos dados fueron $1,$ $1,$ $1,$ $1,$ $3,$ $3,$ $3.$ Halla el número total de combinaciones de precios posibles que sean coherentes con la pista.

A game show offers a contestant three prizes $A,$ $B$ and $C,$ each of which is worth a whole number of dollars from $\$1$ to $\$9999$ inclusive. The contestant wins the prizes by correctly guessing the price of each prize in the order $A,$ $B,$ $C.$ As a hint, the digits of the three prices are given. On a particular day, the digits given were $1,$ $1,$ $1,$ $1,$ $3,$ $3,$ $3.$ Find the total number of possible guesses for all three prizes consistent with the hint.

Respuesta

Respuesta: 420

Conceptos:permutaciones de multiconjuntos particiones y composiciones principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Concatenar los tres precios en orden da un ordenamiento de los siete dígitos; cuenta los ordenamientos y luego las formas de cortar uno en tres precios.

Concatenating the three prices in order gives an arrangement of the seven digits; count arrangements, then the ways to cut one into three prices

Pista grande:

Cada ordenamiento se corta en tres bloques no vacíos de a lo sumo $4$ dígitos: las longitudes de los bloques son permutaciones de $1,2,4;$ $2,2,3$ o $1,3,3.$

Each arrangement is cut into three nonempty blocks of at most $4$ digits: the block lengths are permutations of $1,2,4;$ $2,2,3;$ or $1,3,3$

Solución:

Concatenar los tres precios propuestos en orden produce un ordenamiento de los siete dígitos dados, y cada combinación de precios se recupera de forma única a partir de un ordenamiento junto con una forma de cortarlo en tres bloques consecutivos no vacíos de a lo sumo cuatro dígitos cada uno (los precios van desde $\$1$ hasta $\$9999,$ y aquí ningún precio puede empezar con $0$ ya que todos los dígitos son $1$ o $3$ ). Hay $\frac{7!}{4!\,3!} = 35$ ordenamientos de cuatro $1$ y tres $3$ .

Las longitudes ordenadas de los bloques son las formas de escribir $7$ como suma ordenada de tres partes entre $1$ y $4:$ las permutaciones de $(1, 2, 4),$ $(2, 2, 3)$ y $(1, 3, 3),$ que dan $6 + 3 + 3 = 12$ cortes por cada ordenamiento.

El total es $35 \cdot 12 = 420.$

Concatenating the three guessed prices in order produces an arrangement of the seven given digits, and each guess is recovered uniquely from an arrangement together with a way to cut it into three consecutive nonempty blocks of at most four digits each (prices run from $\$1$ to $\$9999,$ and no price can start with $0$ here since every digit is $1$ or $3$ ). There are $\frac{7!}{4!\,3!} = 35$ arrangements of four $1$ s and three $3$ s.

The ordered block lengths are the ways to write $7$ as an ordered sum of three parts between $1$ and $4:$ the permutations of $(1, 2, 4),$ $(2, 2, 3),$ and $(1, 3, 3),$ giving $6 + 3 + 3 = 12$ cuts for each arrangement.

The total is $35 \cdot 12 = 420.$

2009 AIME I Problema 9

Respuesta: 420

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 9 en otros años