Question

Un programa de concursos ofrece a un participante tres premios A, B y C, cada uno de los cuales vale un número entero de dólares desde $\$1$ hasta $\$9999$ inclusive. El participante gana los premios adivinando correctamente el precio de cada premio en el orden A, B, C. Como pista, se dan los dígitos de los tres precios. Un día concreto, los dígitos dados fueron $1, 1, 1, 1, 3, 3, 3.$ Halla el número total de conjeturas posibles para los tres premios que sean coherentes con la pista.

A game show offers a contestant three prizes A, B and C, each of which is worth a whole number of dollars from $\$1$ to $\$9999$ inclusive. The contestant wins the prizes by correctly guessing the price of each prize in the order A, B, C. As a hint, the digits of the three prices are given. On a particular day, the digits given were $1, 1, 1, 1, 3, 3, 3.$ Find the total number of possible guesses for all three prizes consistent with the hint.

Respuesta

Solución:

Concatenar los tres precios conjeturados en orden produce una disposición de los siete dígitos dados, y cada conjetura se recupera de forma única a partir de una disposición junto con una forma de cortarla en tres bloques consecutivos no vacíos de a lo sumo cuatro dígitos cada uno (los precios van desde $\$1$ hasta $\$9999,$ y aquí ningún precio puede empezar con $0$ ya que todos los dígitos son $1$ o $3$ ). Hay $\frac{7!}{4!\,3!} = 35$ disposiciones de cuatro $1$ y tres $3$ .

Las longitudes ordenadas de los bloques son las formas de escribir $7$ como suma ordenada de tres partes entre $1$ y $4:$ las permutaciones de $(1, 2, 4),$ $(2, 2, 3),$ y $(1, 3, 3),$ que dan $6 + 3 + 3 = 12$ cortes por cada disposición.

El total es $35 \cdot 12 = 420.$

Concatenating the three guessed prices in order produces an arrangement of the seven given digits, and each guess is recovered uniquely from an arrangement together with a way to cut it into three consecutive nonempty blocks of at most four digits each (prices run from $\$1$ to $\$9999,$ and no price can start with $0$ here since every digit is $1$ or $3$ ). There are $\frac{7!}{4!\,3!} = 35$ arrangements of four $1$ s and three $3$ s.

The ordered block lengths are the ways to write $7$ as an ordered sum of three parts between $1$ and $4:$ the permutations of $(1, 2, 4),$ $(2, 2, 3),$ and $(1, 3, 3),$ giving $6 + 3 + 3 = 12$ cuts for each arrangement.

The total is $35 \cdot 12 = 420.$

2009 AIME I Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años