Question

Las circunferencias $\omega_1$ y $\omega_2$ se cortan en dos puntos $P$ y $Q,$ y su tangente común más cercana a $P$ corta a $\omega_1$ y $\omega_2$ en los puntos $A$ y $B,$ respectivamente. La recta paralela a $\overline{AB}$ que pasa por $P$ corta a $\omega_1$ y $\omega_2$ por segunda vez en los puntos $X$ y $Y,$ respectivamente. Supón que $PX = 10,$ $PY = 14,$ y $PQ = 5.$ Entonces el área del trapecio $XABY$ es $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n.$

Circles $\omega_1$ and $\omega_2$ intersect at two points $P$ and $Q,$ and their common tangent line closer to $P$ intersects $\omega_1$ and $\omega_2$ at points $A$ and $B,$ respectively. The line parallel to $\overline{AB}$ that passes through $P$ intersects $\omega_1$ and $\omega_2$ for the second time at points $X$ and $Y,$ respectively. Suppose $PX = 10,$ $PY = 14,$ and $PQ = 5.$ Then the area of trapezoid $XABY$ is $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Como la tangente a $\omega_1$ en $A$ es paralela a la cuerda $XP,$ el punto $A$ es el punto medio del arco $XP,$ así que la perpendicular desde $A$ a la recta $XY$ cae en el punto medio de $\overline{XP};$ de forma similar, la perpendicular desde $B$ cae en el punto medio de $\overline{PY}.$ Como $X$ y $Y$ están en lados opuestos de $P,$ los lados paralelos del trapecio son $XY = 10 + 14 = 24$ y $AB = \frac{10}{2} + \frac{14}{2} = 12.$

La recta $PQ$ es el eje radical, así que su intersección $M$ con la tangente satisface $MA^2 = MP \cdot MQ = MB^2:$ $M$ es el punto medio de $\overline{AB},$ y con $MA = 6$ y $MQ = MP + 5,$ $\begin{gathered} 36 = MP(MP + 5), \\ MP = 4. \end{gathered}$

Establece coordenadas a lo largo de $AB:$ los pies de $A$ y $B$ son los puntos medios de $XP$ y $PY,$ así que $P$ está a $5$ unidades del primer pie, mientras que $M$ está a $6$ unidades de $A.$ Por lo tanto el desplazamiento horizontal entre $M$ y $P$ es $6 - 5 = 1,$ y la altura $h$ del trapecio satisface $h^2 = MP^2 - 1 = 15.$ El área es $\frac{24 + 12}{2}\sqrt{15} = 18\sqrt{15},$ así que $m + n = 18 + 15 = 33.$

Since the tangent to $\omega_1$ at $A$ is parallel to the chord $XP,$ the point $A$ is the midpoint of arc $XP,$ so the perpendicular from $A$ to line $XY$ lands at the midpoint of $\overline{XP};$ similarly the perpendicular from $B$ lands at the midpoint of $\overline{PY}.$ As $X$ and $Y$ are on opposite sides of $P,$ the parallel sides of the trapezoid are $XY = 10 + 14 = 24$ and $AB = \frac{10}{2} + \frac{14}{2} = 12.$

Line $PQ$ is the radical axis, so its intersection $M$ with the tangent line satisfies $MA^2 = MP \cdot MQ = MB^2:$ $M$ is the midpoint of $\overline{AB},$ and with $MA = 6$ and $MQ = MP + 5,$ $\begin{gathered} 36 = MP(MP + 5), \\ MP = 4. \end{gathered}$

Set up coordinates along $AB:$ the feet of $A$ and $B$ are the midpoints of $XP$ and $PY,$ so $P$ lies $5$ units from the first foot, while $M$ lies $6$ units from $A.$ Hence the horizontal offset between $M$ and $P$ is $6 - 5 = 1,$ and the height $h$ of the trapezoid satisfies $h^2 = MP^2 - 1 = 15.$ The area is $\frac{24 + 12}{2}\sqrt{15} = 18\sqrt{15},$ so $m + n = 18 + 15 = 33.$

2023 AIME II Problema 9

Solución:

El Problema 9 en otros años