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2023 AIME II Problema 8

Intenta el Problema 8 del 2023 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2023 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

8.

Sea ω=cos⁡2π7+i⋅sin⁡2π7,\omega = \cos\frac{2\pi}{7} + i \cdot \sin\frac{2\pi}{7}, donde i=−1.i = \sqrt{-1}. Halla el valor del producto ∏k=06(ω3k+ωk+1).\prod_{k=0}^{6} \left(\omega^{3k} + \omega^k + 1\right).
Let ω=cos⁡2π7+i⋅sin⁡2π7,\omega = \cos\frac{2\pi}{7} + i \cdot \sin\frac{2\pi}{7}, where i=−1.i = \sqrt{-1}. Find the value of the product ∏k=06(ω3k+ωk+1).\prod_{k=0}^{6} \left(\omega^{3k} + \omega^k + 1\right).
Respuesta: 24
Conceptos:raíces de la unidadpolinomionúmero complejo
Nivel de dificultad: 2840
Pista pequeña:
El factor k=0k = 0 es igual a 3;3; el resto es ∏P(z)\prod P(z) sobre las raíces séptimas primitivas de la unidad, donde P(x)=x3+x+1P(x) = x^3 + x + 1
The k=0k = 0 factor equals 3;3; the rest is ∏P(z)\prod P(z) over the primitive seventh roots of unity, where P(x)=x3+x+1P(x) = x^3 + x + 1
Pista grande:
∏z7=1P(z)=∏(1−β7)\prod_{z^7 = 1} P(z) = \prod (1 - \beta^7) sobre las raíces β\beta de P;P; reduce β7\beta^7 usando β3=−β−1\beta^3 = -\beta - 1
∏z7=1P(z)=∏(1−β7)\prod_{z^7 = 1} P(z) = \prod (1 - \beta^7) over the roots β\beta of P;P; reduce β7\beta^7 using β3=−β−1\beta^3 = -\beta - 1
Solución:
Sea P(x)=x3+x+1,P(x) = x^3 + x + 1, así que el producto es ∏k=06P(ωk),\prod_{k=0}^{6} P(\omega^k), donde ω0,…,ω6\omega^0, \ldots, \omega^6 son todas las raíces séptimas de la unidad. Como x7−1=∏k(x−ωk),x^7 - 1 = \prod_k (x - \omega^k), al escribir la factorización P(x)P(x) =(x−β1)(x−β2)(x−β3)= (x - \beta_1)(x - \beta_2)(x - \beta_3) e intercambiar el orden del producto doble, se obtiene ∏k=06P(ωk)=∏j=13∏k=06(ωk−βj)=∏j=13(−(βj7−1))=∏j=13(1−βj7). \begin{gathered} \prod_{k=0}^{6} P(\omega^k) \\ = \prod_{j=1}^{3} \prod_{k=0}^{6} (\omega^k - \beta_j) \\ = \prod_{j=1}^{3} \bigl(-(\beta_j^7 - 1)\bigr) \\ = \prod_{j=1}^{3} (1 - \beta_j^7). \end{gathered}
Para una raíz β\beta de P,P, usar repetidamente β3=−β−1\beta^3 = -\beta - 1 da β4=−β2−β,\beta^4 = -\beta^2 - \beta, β5=−β2+β+1,\beta^5 = -\beta^2 + \beta + 1, β6=β2+2β+1,\beta^6 = \beta^2 + 2\beta + 1, y β7=2β2−1.\beta^7 = 2\beta^2 - 1. Por lo tanto 1−β7=2(1−β)(1+β),1 - \beta^7 = 2(1 - \beta)(1 + \beta), y ∏j(1−βj7)=23∏j(1−βj)∏j(1+βj)=8⋅P(1)⋅(−P(−1))=8⋅3⋅1=24. \begin{gathered} \prod_{j} (1 - \beta_j^7) \\ = 2^3 \prod_j (1 - \beta_j) \prod_j (1 + \beta_j) \\ = 8 \cdot P(1) \cdot \bigl(-P(-1)\bigr) \\ = 8 \cdot 3 \cdot 1 = 24. \end{gathered}
Así que el producto pedido es igual a 24.24.
Let P(x)=x3+x+1,P(x) = x^3 + x + 1, so the product is ∏k=06P(ωk),\prod_{k=0}^{6} P(\omega^k), where ω0,…,ω6\omega^0, \ldots, \omega^6 are all seventh roots of unity. Since x7−1=∏k(x−ωk),x^7 - 1 = \prod_k (x - \omega^k), writing the factorization P(x)P(x) =(x−β1)(x−β2)(x−β3)= (x - \beta_1)(x - \beta_2)(x - \beta_3) and swapping the order of the double product gives ∏k=06P(ωk)=∏j=13∏k=06(ωk−βj)=∏j=13(−(βj7−1))=∏j=13(1−βj7). \begin{gathered} \prod_{k=0}^{6} P(\omega^k) \\ = \prod_{j=1}^{3} \prod_{k=0}^{6} (\omega^k - \beta_j) \\ = \prod_{j=1}^{3} \bigl(-(\beta_j^7 - 1)\bigr) \\ = \prod_{j=1}^{3} (1 - \beta_j^7). \end{gathered}
For a root β\beta of P,P, repeatedly using β3=−β−1\beta^3 = -\beta - 1 gives β4=−β2−β,\beta^4 = -\beta^2 - \beta, β5=−β2+β+1,\beta^5 = -\beta^2 + \beta + 1, β6=β2+2β+1,\beta^6 = \beta^2 + 2\beta + 1, and β7=2β2−1.\beta^7 = 2\beta^2 - 1. Hence 1−β7=2(1−β)(1+β),1 - \beta^7 = 2(1 - \beta)(1 + \beta), and ∏j(1−βj7)=23∏j(1−βj)∏j(1+βj)=8⋅P(1)⋅(−P(−1))=8⋅3⋅1=24. \begin{gathered} \prod_{j} (1 - \beta_j^7) \\ = 2^3 \prod_j (1 - \beta_j) \prod_j (1 + \beta_j) \\ = 8 \cdot P(1) \cdot \bigl(-P(-1)\bigr) \\ = 8 \cdot 3 \cdot 1 = 24. \end{gathered}
So the requested product equals 24.24.
Problema 7#7
Examen completo
Problema 9#9

El Problema 8 en otros años

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