Question

Halla el número de enteros positivos $n \le 600$ cuyo valor puede determinarse de forma única entre todos los enteros positivos cuando se dan los valores de $\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor,$ $\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor,$ y $\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor$ , donde $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que el número real $x.$

Find the number of positive integers $n \le 600$ whose value can be uniquely determined among all positive integers when the values of $\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor,$ $\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor,$ and $\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor$ are given, where $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to the real number $x.$

Respuesta

Solución:

El conjunto de enteros positivos que comparten una terna dada $\left(\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor\right)$ es una intersección de tres intervalos, por lo tanto un bloque de enteros consecutivos. Así que $n$ queda determinado de forma única exactamente cuando ni $n - 1$ ni $n + 1$ dan la misma terna: algún suelo debe bajar en $n - 1,$ lo que significa que $4, 5,$ o $6$ divide a $n,$ y algún suelo debe saltar en $n + 1,$ lo que significa que $4, 5,$ o $6$ divide a $n + 1.$

Como $n$ y $n + 1$ no pueden ser ambos pares, los pares de divisores para $(n, n + 1)$ son $(4, 5),$ $(5, 4),$ $(5, 6),$ y $(6, 5).$ Trabajando módulo $60:$ $4 \mid n,\; 5 \mid n + 1$ da $n \equiv 4, 24, 44;$ $5 \mid n,\; 4 \mid n + 1$ da $n \equiv 15, 35, 55;$ $5 \mid n,\; 6 \mid n + 1$ da $n \equiv 5, 35;$ y $6 \mid n,\; 5 \mid n + 1$ da $n \equiv 24, 54.$ La unión son los $8$ residuos $\{4, 5, 15, 24, 35, 44, 54, 55\}$ módulo $60.$

Cada residuo ocurre $10$ veces entre $1 \le n \le 600,$ así que el conteo es $8 \cdot 10 = 80.$ (Nota que $n = 600$ falla: $601$ no es divisible por ninguno de $4, 5, 6,$ así que $601, 602, 603$ comparten la terna de $600$ .)

The set of positive integers sharing a given triple $\left(\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor\right)$ is an intersection of three intervals, hence a block of consecutive integers. So $n$ is uniquely determined exactly when neither $n - 1$ nor $n + 1$ gives the same triple: some floor must drop at $n - 1,$ meaning $4, 5,$ or $6$ divides $n,$ and some floor must jump at $n + 1,$ meaning $4, 5,$ or $6$ divides $n + 1.$

Since $n$ and $n + 1$ cannot both be even, the divisor pairs for $(n, n + 1)$ are $(4, 5),$ $(5, 4),$ $(5, 6),$ and $(6, 5).$ Working modulo $60:$ $4 \mid n,\; 5 \mid n + 1$ gives $n \equiv 4, 24, 44;$ $5 \mid n,\; 4 \mid n + 1$ gives $n \equiv 15, 35, 55;$ $5 \mid n,\; 6 \mid n + 1$ gives $n \equiv 5, 35;$ and $6 \mid n,\; 5 \mid n + 1$ gives $n \equiv 24, 54.$ The union is the $8$ residues $\{4, 5, 15, 24, 35, 44, 54, 55\}$ modulo $60.$

Each residue occurs $10$ times among $1 \le n \le 600,$ so the count is $8 \cdot 10 = 80.$ (Note $n = 600$ fails: $601$ is divisible by none of $4, 5, 6,$ so $601, 602, 603$ share $600$ 's triple.)

2022 AIME II Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años