Question

Halla el número de enteros positivos $n \le 600$ cuyo valor puede determinarse de forma única entre todos los enteros positivos cuando se dan los valores de $\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor,$ $\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor,$ y $\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor,$ donde $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que el número real $x.$

Find the number of positive integers $n \le 600$ whose value can be uniquely determined among all positive integers when the values of $\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor,$ $\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor,$ and $\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor$ are given, where $\lfloor x \rfloor$ denotes the greatest integer less than or equal to the real number $x.$

Respuesta

Respuesta: 80

Conceptos:funciones piso y techo divisibilidad aritmética modular

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Los enteros que comparten una terna dada de partes enteras forman un bloque de enteros consecutivos, así que $n$ queda determinado exactamente cuando su bloque tiene tamaño $1$

The integers sharing a given triple of floor values form a block of consecutive integers, so $n$ is determined exactly when its block has size $1$

Pista grande:

El bloque tiene tamaño $1$ exactamente cuando cada uno de $n$ y $n + 1$ es divisible por al menos uno de $4, 5, 6.$ Cuenta tales $n$ en un periodo de $60.$

The block has size $1$ exactly when each of $n$ and $n + 1$ is divisible by at least one of $4, 5, 6.$ Count such $n$ in one period of $60.$

Solución:

El conjunto de enteros positivos que comparten una terna dada $\left(\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor\right)$ es una intersección de tres intervalos, por lo tanto un bloque de enteros consecutivos. Así que $n$ queda determinado de forma única exactamente cuando ni $n - 1$ ni $n + 1$ dan la misma terna: alguna parte entera debe disminuir en $n - 1,$ lo que significa que $4, 5,$ o $6$ divide a $n,$ y alguna parte entera debe aumentar en $n + 1,$ lo que significa que $4, 5,$ o $6$ divide a $n + 1.$

Como $n$ y $n + 1$ no pueden ser ambos pares, los pares de divisores para $(n, n + 1)$ son $(4, 5),$ $(5, 4),$ $(5, 6),$ y $(6, 5).$ Trabajando módulo $60:$ que $4$ divida a $n$ y $5$ divida a $n + 1$ da $n \equiv 4, 24, 44;$ que $5$ divida a $n$ y $4$ divida a $n + 1$ da $n \equiv 15, 35, 55;$ que $5$ divida a $n$ y $6$ divida a $n + 1$ da $n \equiv 5, 35;$ y que $6$ divida a $n$ y $5$ divida a $n + 1$ da $n \equiv 24, 54.$ La unión son los $8$ residuos $\{4, 5, 15, 24, 35, 44, 54, 55\}$ módulo $60.$

Cada residuo ocurre $10$ veces entre $1 \le n \le 600,$ así que el conteo es $8 \cdot 10 = 80.$ (Nota que $n = 600$ falla: $601$ no es divisible por ninguno de $4, 5, 6,$ así que $601, 602, 603$ comparten la terna de $600$ .)

The set of positive integers sharing a given triple $\left(\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor\right)$ is an intersection of three intervals, hence a block of consecutive integers. So $n$ is uniquely determined exactly when neither $n - 1$ nor $n + 1$ gives the same triple: some floor must drop at $n - 1,$ meaning $4, 5,$ or $6$ divides $n,$ and some floor must jump at $n + 1,$ meaning $4, 5,$ or $6$ divides $n + 1.$

Since $n$ and $n + 1$ cannot both be even, the divisor pairs for $(n, n + 1)$ are $(4, 5),$ $(5, 4),$ $(5, 6),$ and $(6, 5).$ Working modulo $60:$ $4$ dividing $n$ and $5$ dividing $n + 1$ gives $n \equiv 4, 24, 44;$ $5$ dividing $n$ and $4$ dividing $n + 1$ gives $n \equiv 15, 35, 55;$ $5$ dividing $n$ and $6$ dividing $n + 1$ gives $n \equiv 5, 35;$ and $6$ dividing $n$ and $5$ dividing $n + 1$ gives $n \equiv 24, 54.$ The union is the $8$ residues $\{4, 5, 15, 24, 35, 44, 54, 55\}$ modulo $60.$

Each residue occurs $10$ times among $1 \le n \le 600,$ so the count is $8 \cdot 10 = 80.$ (Note $n = 600$ fails: $601$ is divisible by none of $4, 5, 6,$ so $601, 602, 603$ share $600$ ’s triple.)

2022 AIME II Problema 8

Respuesta: 80

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años