Question

Halla el número de enteros positivos

n \le 600

cuyo valor puede determinarse de forma única entre todos los enteros positivos cuando se dan los valores de

\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor,

\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor,

y

\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor,

donde

\lfloor x \rfloor

denota el mayor entero menor o igual que el número real

x.

Find the number of positive integers

n \le 600

whose value can be uniquely determined among all positive integers when the values of

\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor,

\left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor,

and

\left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor

are given, where

\lfloor x \rfloor

denotes the greatest integer less than or equal to the real number

x.

Respuesta

Respuesta: 80

Conceptos:funciones piso y techo divisibilidad aritmética modular

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Los enteros que comparten una terna dada de partes enteras forman un bloque de enteros consecutivos, así que

n

queda determinado exactamente cuando su bloque tiene tamaño

1

The integers sharing a given triple of floor values form a block of consecutive integers, so

n

is determined exactly when its block has size

1

Pista grande:

El bloque tiene tamaño

1

exactamente cuando cada uno de

n

y

n + 1

es divisible por al menos uno de

4, 5, 6.

Cuenta tales

n

en un periodo de

60.

The block has size

1

exactly when each of

n

and

n + 1

is divisible by at least one of

4, 5, 6.

Count such

n

in one period of

60.

Solución:

El conjunto de enteros positivos que comparten una terna dada

\left(\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor\right)

es una intersección de tres intervalos, por lo tanto un bloque de enteros consecutivos. Así que

n

queda determinado de forma única exactamente cuando ni

n - 1

ni

n + 1

dan la misma terna: alguna parte entera debe disminuir en

n - 1,

lo que significa que

4, 5,

o

6

divide a

n,

y alguna parte entera debe aumentar en

n + 1,

lo que significa que

4, 5,

o

6

divide a

n + 1.

Como

n

y

n + 1

no pueden ser ambos pares, los pares de divisores para

(n, n + 1)

son

(4, 5),

(5, 4),

(5, 6),

y

(6, 5).

Trabajando módulo

60:

que

4

divida a

n

y

5

divida a

n + 1

da

n \equiv 4, 24, 44;

que

5

divida a

n

y

4

divida a

n + 1

da

n \equiv 15, 35, 55;

que

5

divida a

n

y

6

divida a

n + 1

da

n \equiv 5, 35;

y que

6

divida a

n

y

5

divida a

n + 1

da

n \equiv 24, 54.

La unión son los

8

residuos

\{4, 5, 15, 24, 35, 44, 54, 55\}

módulo

60.

Cada residuo ocurre

10

veces entre

1 \le n \le 600,

así que el conteo es

8 \cdot 10 = 80.

(Nota que

n = 600

falla:

601

no es divisible por ninguno de

4, 5, 6,

así que

601, 602, 603

comparten la terna de

600

.)

The set of positive integers sharing a given triple

\left(\left\lfloor \frac{n}{4} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{n}{6} \right\rfloor\right)

is an intersection of three intervals, hence a block of consecutive integers. So

n

is uniquely determined exactly when neither

n - 1

nor

n + 1

gives the same triple: some floor must drop at

n - 1,

meaning

4, 5,

or

6

divides

n,

and some floor must jump at

n + 1,

meaning

4, 5,

or

6

divides

n + 1.

Since

n

and

n + 1

cannot both be even, the divisor pairs for

(n, n + 1)

are

(4, 5),

(5, 4),

(5, 6),

and

(6, 5).

Working modulo

60:

4

dividing

n

and

5

dividing

n + 1

gives

n \equiv 4, 24, 44;

5

dividing

n

and

4

dividing

n + 1

gives

n \equiv 15, 35, 55;

5

dividing

n

and

6

dividing

n + 1

gives

n \equiv 5, 35;

and

6

dividing

n

and

5

dividing

n + 1

gives

n \equiv 24, 54.

The union is the

8

residues

\{4, 5, 15, 24, 35, 44, 54, 55\}

modulo

60.

Each residue occurs

10

times among

1 \le n \le 600,

so the count is

8 \cdot 10 = 80.

(Note

n = 600

fails:

601

is divisible by none of

4, 5, 6,

so

601, 602, 603

share

600

’s triple.)

2022 AIME II Problema 8

Respuesta: 80

Nivel de dificultad: 2840

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años