Question

En $\triangle ABC,$ $BC = 23,$ $CA = 27,$ y $AB = 30.$ Los puntos $V$ y $W$ están sobre $\overline{AC}$ con $V$ sobre $\overline{AW},$ los puntos $X$ y $Y$ están sobre $\overline{BC}$ con $X$ sobre $\overline{CY},$ y los puntos $Z$ y $U$ están sobre $\overline{AB}$ con $Z$ sobre $\overline{BU}.$ Además, los puntos se ubican de modo que $\overline{UV} \parallel \overline{BC},$ $\overline{WX} \parallel \overline{AB},$ y $\overline{YZ} \parallel \overline{CA}.$ Luego se hacen pliegues en ángulo recto a lo largo de $\overline{UV},$ $\overline{WX},$ y $\overline{YZ}.$ La figura resultante se coloca sobre un piso nivelado para formar una mesa con patas triangulares. Sea $h$ la máxima altura posible de una mesa construida a partir de $\triangle ABC$ cuya superficie sea paralela al piso. Entonces $h$ se puede escribir en la forma $\frac{k\sqrt{m}}{n},$ donde $k$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí y $m$ es un entero positivo no divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $k + m + n.$

In $\triangle ABC,$ $BC = 23,$ $CA = 27,$ and $AB = 30.$ Points $V$ and $W$ are on $\overline{AC}$ with $V$ on $\overline{AW},$ points $X$ and $Y$ are on $\overline{BC}$ with $X$ on $\overline{CY},$ and points $Z$ and $U$ are on $\overline{AB}$ with $Z$ on $\overline{BU}.$ In addition, the points are positioned so that $\overline{UV} \parallel \overline{BC},$ $\overline{WX} \parallel \overline{AB},$ and $\overline{YZ} \parallel \overline{CA}.$ Right angle folds are then made along $\overline{UV},$ $\overline{WX},$ and $\overline{YZ}.$ The resulting figure is placed on a level floor to make a table with triangular legs. Let $h$ be the maximum possible height of a table constructed from $\triangle ABC$ whose top is parallel to the floor. Then $h$ can be written in the form $\frac{k\sqrt{m}}{n},$ where $k$ and $n$ are relatively prime positive integers and $m$ is a positive integer that is not divisible by the square of any prime. Find $k + m + n.$

Respuesta

Solución:

Escribe $a = BC = 23,$ $b = CA = 27,$ $c = AB = 30,$ y sea $K$ el área de $\triangle ABC.$ Por la fórmula de Herón con semiperímetro $40,$ $K = \sqrt{40 \cdot 17 \cdot 13 \cdot 10}$ $= 20\sqrt{221}.$ Cuando la esquina en un vértice se dobla hacia abajo en ángulo recto, la solapa cuelga hasta una profundidad igual a la distancia de ese vértice a la línea de pliegue, así que para una superficie de mesa nivelada de altura $h,$ cada línea de pliegue debe estar a distancia $h$ de su vértice.

La solapa en $A$ es semejante a $\triangle ABC$ con razón $\frac{h}{2K/a} = \frac{ha}{2K}$ (dividiendo $h$ entre la distancia de $A$ a $\overline{BC}$ ), así que ocupa $AU = c \cdot \frac{ha}{2K}$ del lado $\overline{AB};$ de igual modo la solapa en $B$ ocupa $BZ = c \cdot \frac{hb}{2K}$ del mismo lado. Los dos pliegues caben sin cruzarse exactamente cuando $AU + BZ \le c,$ es decir, $h(a + b) \le 2K.$ Los otros dos lados dan $h(b + c) \le 2K$ y $h(c + a) \le 2K.$

La restricción determinante proviene de la suma mayor, $b + c = 57,$ así que la altura máxima es $h = \frac{2K}{57} = \frac{40\sqrt{221}}{57},$ y $k + m + n = 40 + 221 + 57$ $= 318.$

Write $a = BC = 23,$ $b = CA = 27,$ $c = AB = 30,$ and let $K$ be the area of $\triangle ABC.$ By Heron's formula with semiperimeter $40,$ $K = \sqrt{40 \cdot 17 \cdot 13 \cdot 10}$ $= 20\sqrt{221}.$ When the corner at a vertex is folded down at a right angle, the flap hangs to a depth equal to the distance from that vertex to the fold line, so for a level tabletop of height $h,$ each fold line must lie at distance $h$ from its vertex.

The flap at $A$ is similar to $\triangle ABC$ with ratio $\frac{h}{2K/a} = \frac{ha}{2K}$ (dividing $h$ by the distance from $A$ to $\overline{BC}$ ), so it uses up $AU = c \cdot \frac{ha}{2K}$ of side $\overline{AB};$ likewise the flap at $B$ uses $BZ = c \cdot \frac{hb}{2K}$ of the same side. The two folds fit without crossing exactly when $AU + BZ \le c,$ that is, $h(a + b) \le 2K.$ The other two sides give $h(b + c) \le 2K$ and $h(c + a) \le 2K.$

The binding constraint comes from the largest sum, $b + c = 57,$ so the maximum height is $h = \frac{2K}{57} = \frac{40\sqrt{221}}{57},$ and $k + m + n = 40 + 221 + 57$ $= 318.$

2011 AIME I Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años