Question

El polinomio $f(z) = az^{2018} + bz^{2017} + cz^{2016}$ tiene coeficientes reales que no superan $2019,$ y $f\left(\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}\right) = 2015 + 2019\sqrt{3}i.$ Halle el residuo cuando $f(1)$ se divide entre $1000.$

The polynomial $f(z) = az^{2018} + bz^{2017} + cz^{2016}$ has real coefficients not exceeding $2019,$ and $f\left(\frac{1 + \sqrt{3}i}{2}\right) = 2015 + 2019\sqrt{3}i.$ Find the remainder when $f(1)$ is divided by $1000.$

Respuesta

Solución:

Sea $\omega = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2} = \cos 60^\circ + i\sin 60^\circ,$ una raíz sexta primitiva de la unidad. Como $2016 = 6 \cdot 336,$ obtenemos $\omega^{2016} = 1,$ $\omega^{2017} = \omega,$ y $\omega^{2018} = \omega^2 = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}.$ Por lo tanto $\begin{aligned} f(\omega) &= a\omega^2 + b\omega + c \\ &= \left(c + \frac{b - a}{2}\right) \\ &\quad {}+ \frac{(a + b)\sqrt{3}}{2}\,i. \end{aligned}$

Igualando las partes imaginarias, $\frac{a + b}{2} = 2019,$ así que $a + b = 4038.$ Como $a \le 2019$ y $b \le 2019,$ esto obliga a $a = b = 2019.$ Igualando luego las partes reales, se obtiene $c + 0 = 2015,$ por lo que $c = 2015.$

Por lo tanto $f(1) = a + b + c$ $= 4038 + 2015 = 6053,$ cuyo residuo al dividir entre $1000$ es $53.$

Let $\omega = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2} = \cos 60^\circ + i\sin 60^\circ,$ a primitive sixth root of unity. Since $2016 = 6 \cdot 336,$ we get $\omega^{2016} = 1,$ $\omega^{2017} = \omega,$ and $\omega^{2018} = \omega^2 = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}.$ Therefore $\begin{aligned} f(\omega) &= a\omega^2 + b\omega + c \\ &= \left(c + \frac{b - a}{2}\right) \\ &\quad {}+ \frac{(a + b)\sqrt{3}}{2}\,i. \end{aligned}$

Matching imaginary parts, $\frac{a + b}{2} = 2019,$ so $a + b = 4038.$ Since $a \le 2019$ and $b \le 2019,$ this forces $a = b = 2019.$ Matching real parts then gives $c + 0 = 2015,$ so $c = 2015.$

Hence $f(1) = a + b + c$ $= 4038 + 2015 = 6053,$ whose remainder upon division by $1000$ is $53.$

2019 AIME II Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años