Question

La ecuación $2^{333x-2} + 2^{111x+2} = 2^{222x+1} + 1$ tiene tres raíces reales. Dado que su suma es $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí, halle $m + n.$

The equation $2^{333x-2} + 2^{111x+2} = 2^{222x+1} + 1$ has three real roots. Given that their sum is $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers, find $m + n.$

Respuesta

Solución:

Sea $y = 2^{111x}.$ Entonces $2^{333x-2} = \frac{y^3}{4},$ $2^{111x+2} = 4y,$ y $2^{222x+1} = 2y^2,$ así que la ecuación se convierte en $\frac{y^3}{4} + 4y = 2y^2 + 1,$ es decir, $y^3 - 8y^2 + 16y - 4 = 0.$ Como las tres raíces $x_1, x_2, x_3$ son reales y $y = 2^{111x}$ es estrictamente creciente, corresponden a tres raíces reales positivas $y_1, y_2, y_3$ de la cúbica.

Cada $x_i = \frac{1}{111}\log_2 y_i,$ así que $\begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 &= \frac{1}{111}\log_2(y_1 y_2 y_3) \\ &= \frac{1}{111}\log_2 4 \\ &= \frac{2}{111}, \end{aligned}$ usando las fórmulas de Vieta para el producto de las raíces. Entonces $m + n = 2 + 111 = 113.$

Let $y = 2^{111x}.$ Then $2^{333x-2} = \frac{y^3}{4},$ $2^{111x+2} = 4y,$ and $2^{222x+1} = 2y^2,$ so the equation becomes $\frac{y^3}{4} + 4y = 2y^2 + 1,$ that is, $y^3 - 8y^2 + 16y - 4 = 0.$ Since the three roots $x_1, x_2, x_3$ are real and $y = 2^{111x}$ is strictly increasing, they correspond to three positive real roots $y_1, y_2, y_3$ of the cubic.

Each $x_i = \frac{1}{111}\log_2 y_i,$ so $\begin{aligned} x_1 + x_2 + x_3 &= \frac{1}{111}\log_2(y_1 y_2 y_3) \\ &= \frac{1}{111}\log_2 4 \\ &= \frac{2}{111}, \end{aligned}$ using Vieta's formulas for the product of the roots. Then $m + n = 2 + 111 = 113.$

2005 AIME I Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años