Question

Halla el número de conjuntos $\{a, b, c\}$ de tres enteros positivos distintos con la propiedad de que el producto de $a,$ $b,$ y $c$ es igual al producto de $11,$ $21,$ $31,$ $41,$ $51,$ y $61.$

Find the number of sets $\{a, b, c\}$ of three distinct positive integers with the property that the product of $a,$ $b,$ and $c$ is equal to the product of $11,$ $21,$ $31,$ $41,$ $51,$ and $61.$

Respuesta

Solución:

Cuenta las ternas ordenadas $(a, b, c)$ con $\begin{aligned} abc &= 11 \cdot 21 \cdot 31 \cdot 41 \cdot 51 \cdot 61 \\ &= 3^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 17 \cdot 31 \cdot 41 \\ &\quad {}\cdot 61 = N. \end{aligned}$ Cada uno de los seis primos $7, 11, 17, 31, 41, 61$ aparece una vez y puede ir a cualquiera de los tres valores: $3^6$ maneras. Los dos factores de $3$ pueden repartirse entre los tres valores de $\binom{4}{2} = 6$ maneras. Eso da $6 \cdot 3^6 = 4374$ ternas ordenadas.

Si dos de los tres valores fueran iguales, su valor común $v$ satisfaría $v^2 \mid N,$ así que $v = 1$ o $v = 3.$ Esto produce las ternas con valores $\{1, 1, N\}$ y $\{3, 3, \frac{N}{9}\},$ cada una en $3$ órdenes, para $6$ ternas ordenadas en total (que los tres sean iguales es imposible). Las $4374 - 6 = 4368$ ternas ordenadas restantes tienen entradas distintas, y cada conjunto $\{a, b, c\}$ se cuenta $3! = 6$ veces.

Así que el número de conjuntos es $\frac{4368}{6} = 728.$

Count ordered triples $(a, b, c)$ with $\begin{aligned} abc &= 11 \cdot 21 \cdot 31 \cdot 41 \cdot 51 \cdot 61 \\ &= 3^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 17 \cdot 31 \cdot 41 \\ &\quad {}\cdot 61 = N. \end{aligned}$ Each of the six primes $7, 11, 17, 31, 41, 61$ appears once and can go to any of the three values: $3^6$ ways. The two factors of $3$ can be split among the three values in $\binom{4}{2} = 6$ ways. That gives $6 \cdot 3^6 = 4374$ ordered triples.

If two of the three values were equal, their common value $v$ would satisfy $v^2 \mid N,$ so $v = 1$ or $v = 3.$ This produces the triples with values $\{1, 1, N\}$ and $\{3, 3, \frac{N}{9}\},$ each in $3$ orders, for $6$ ordered triples in all (all three equal is impossible). The remaining $4374 - 6 = 4368$ ordered triples have distinct entries, and each set $\{a, b, c\}$ is counted $3! = 6$ times.

So the number of sets is $\frac{4368}{6} = 728.$

2016 AIME II Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años