Soluciones del 2016 AIME II | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Inicialmente Alex, Betty y Charlie tenían en total $444$ cacahuetes. Charlie tenía la mayor cantidad de cacahuetes y Alex la menor. Las tres cantidades de cacahuetes que cada persona tenía forman una progresión geométrica. Alex se come $5$ de sus cacahuetes, Betty se come $9$ de los suyos y Charlie se come $25$ de los suyos. Ahora las tres cantidades de cacahuetes que cada persona tiene forman una progresión aritmética. Halla el número de cacahuetes que Alex tenía inicialmente.

Initially Alex, Betty, and Charlie had a total of $444$ peanuts. Charlie had the most peanuts, and Alex had the least. The three numbers of peanuts that each person had form a geometric progression. Alex eats $5$ of his peanuts, Betty eats $9$ of her peanuts, and Charlie eats $25$ of his peanuts. Now the three numbers of peanuts that each person has form an arithmetic progression. Find the number of peanuts Alex had initially.

Respuesta

Conceptos:sucesión geométrica sucesión aritmética sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2050

Solución:

Tras comer, quedan $444 - 5 - 9 - 25 = 405$ cacahuetes, y las tres cantidades forman una progresión aritmética, así que la cantidad central, la de Betty, es $\frac{405}{3} = 135.$ Por tanto Betty empezó con $135 + 9 = 144$ cacahuetes.

Las cantidades iniciales forman una progresión geométrica, así que son $\frac{144}{r},$ $144,$ y $144r$ con $r \gt 1$ (Charlie tenía la mayor cantidad y Alex la menor). Entonces $\frac{144}{r} + 144 + 144r = 444,$ que se simplifica a $12r^2 - 25r + 12 = 0,$ con raíces $r = \frac{4}{3}$ y $r = \frac{3}{4};$ como $r \gt 1,$ tomamos $r = \frac{4}{3}.$

Así que Alex tenía inicialmente $144 \cdot \frac{3}{4} = 108$ cacahuetes. (Comprobación: tras comer, las cantidades $103,$ $135,$ $167$ aumentan en $32$ cada una.)

After the eating, $444 - 5 - 9 - 25 = 405$ peanuts remain, and the three amounts form an arithmetic progression, so the middle amount, Betty's, is $\frac{405}{3} = 135.$ Hence Betty started with $135 + 9 = 144$ peanuts.

The starting amounts form a geometric progression, so they are $\frac{144}{r},$ $144,$ and $144r$ with $r \gt 1$ (Charlie had the most and Alex the least). Then $\frac{144}{r} + 144 + 144r = 444,$ which simplifies to $12r^2 - 25r + 12 = 0,$ with roots $r = \frac{4}{3}$ and $r = \frac{3}{4};$ since $r \gt 1,$ we take $r = \frac{4}{3}.$

So Alex initially had $144 \cdot \frac{3}{4} = 108$ peanuts. (Check: after eating, the amounts $103,$ $135,$ $167$ increase by $32$ each.)

2.

Hay un $40\%$ de probabilidad de lluvia el sábado y un $30\%$ de probabilidad de lluvia el domingo. Sin embargo, es dos veces más probable que llueva el domingo si llueve el sábado que si no llueve el sábado. La probabilidad de que llueva al menos un día este fin de semana es $\frac{a}{b},$ donde $a$ y $b$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $a + b.$

There is a $40\%$ chance of rain on Saturday and a $30\%$ chance of rain on Sunday. However, it is twice as likely to rain on Sunday if it rains on Saturday than if it does not rain on Saturday. The probability that it rains at least one day this weekend is $\frac{a}{b},$ where $a$ and $b$ are relatively prime positive integers. Find $a + b.$

Respuesta

Conceptos:probabilidad condicional probabilidad complementaria

Nivel de dificultad: 2070

Solución:

Sea $p$ la probabilidad de que llueva el domingo dado un sábado seco; dado un sábado lluvioso es $2p.$ La probabilidad global del domingo da $0.4(2p) + 0.6p = 0.3,$ así que $1.4p = 0.3$ y $p = \frac{3}{14}.$

El fin de semana es completamente seco exactamente cuando el sábado está seco y luego el domingo está seco: $\frac{3}{5}\left(1 - \frac{3}{14}\right) = \frac{3}{5} \cdot \frac{11}{14} = \frac{33}{70}.$ Así que la probabilidad de que llueva al menos un día es $1 - \frac{33}{70} = \frac{37}{70},$ que está en su forma más simple, y $a + b = 37 + 70 = 107.$

Let $p$ be the probability that it rains on Sunday given a dry Saturday; given a rainy Saturday it is $2p.$ The overall Sunday chance gives $0.4(2p) + 0.6p = 0.3,$ so $1.4p = 0.3$ and $p = \frac{3}{14}.$

The weekend is completely dry exactly when Saturday is dry and then Sunday is dry: $\frac{3}{5}\left(1 - \frac{3}{14}\right) = \frac{3}{5} \cdot \frac{11}{14} = \frac{33}{70}.$ So the probability of rain on at least one day is $1 - \frac{33}{70} = \frac{37}{70},$ which is in lowest terms, and $a + b = 37 + 70 = 107.$

3.

Sean $x,$ $y,$ y $z$ números reales que satisfacen el sistema $\log_2(xyz - 3 + \log_5 x) = 5$ $\log_3(xyz - 3 + \log_5 y) = 4$ $\log_4(xyz - 3 + \log_5 z) = 4.$ Halla el valor de $|\log_5 x| + |\log_5 y| + |\log_5 z|.$

Let $x,$ $y,$ and $z$ be real numbers satisfying the system $\log_2(xyz - 3 + \log_5 x) = 5$ $\log_3(xyz - 3 + \log_5 y) = 4$ $\log_4(xyz - 3 + \log_5 z) = 4.$ Find the value of $|\log_5 x| + |\log_5 y| + |\log_5 z|.$

Respuesta

Conceptos:logaritmo sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 2300

Solución:

Exponenciar cada ecuación da $xyz - 3 + \log_5 x = 2^5$ y análogamente para las demás, así que $xyz + \log_5 x = 35,$ $xyz + \log_5 y = 84,$ $xyz + \log_5 z = 259.$ Escribimos $x = 5^a,$ $y = 5^b,$ $z = 5^c,$ de modo que $xyz = 5^{a+b+c}.$

Sumar las tres ecuaciones da $3 \cdot 5^s + s = 378,$ donde $s = a + b + c.$ El lado izquierdo es estrictamente creciente en $s,$ y $s = 3$ funciona ya que $375 + 3 = 378,$ así que $s = 3$ y $5^s = 125.$

Entonces $a = 35 - 125 = -90,$ $b = 84 - 125 = -41,$ y $c = 259 - 125 = 134,$ así que $|a| + |b| + |c|$ $= 90 + 41 + 134$ $= 265.$

Exponentiating each equation gives $xyz - 3 + \log_5 x = 2^5$ and similarly for the others, so $xyz + \log_5 x = 35,$ $xyz + \log_5 y = 84,$ $xyz + \log_5 z = 259.$ Write $x = 5^a,$ $y = 5^b,$ $z = 5^c,$ so that $xyz = 5^{a+b+c}.$

Adding the three equations gives $3 \cdot 5^s + s = 378,$ where $s = a + b + c.$ The left side is strictly increasing in $s,$ and $s = 3$ works since $375 + 3 = 378,$ so $s = 3$ and $5^s = 125.$

Then $a = 35 - 125 = -90,$ $b = 84 - 125 = -41,$ and $c = 259 - 125 = 134,$ so $|a| + |b| + |c|$ $= 90 + 41 + 134$ $= 265.$

4.

Una caja rectangular de $a \times b \times c$ se construye con $a \cdot b \cdot c$ cubos unitarios. Cada cubo unitario se colorea de rojo, verde o amarillo. Cada una de las $a$ capas de tamaño $1 \times b \times c$ paralelas a las caras $(b \times c)$ de la caja contiene exactamente $9$ cubos rojos, exactamente $12$ cubos verdes y algunos cubos amarillos. Cada una de las $b$ capas de tamaño $a \times 1 \times c$ paralelas a las caras $(a \times c)$ de la caja contiene exactamente $20$ cubos verdes, exactamente $25$ cubos amarillos y algunos cubos rojos. Halla el menor volumen posible de la caja.

An $a \times b \times c$ rectangular box is built from $a \cdot b \cdot c$ unit cubes. Each unit cube is colored red, green, or yellow. Each of the $a$ layers of size $1 \times b \times c$ parallel to the $(b \times c)$ -faces of the box contains exactly $9$ red cubes, exactly $12$ green cubes, and some yellow cubes. Each of the $b$ layers of size $a \times 1 \times c$ parallel to the $(a \times c)$ -faces of the box contains exactly $20$ green cubes, exactly $25$ yellow cubes, and some red cubes. Find the smallest possible volume of the box.

Respuesta

Conceptos:doble conteo divisibilidad

Nivel de dificultad: 2450

Solución:

Cada capa $1 \times b \times c$ tiene exactamente $9$ cubos rojos y $12$ verdes, por lo que tiene exactamente $bc - 21$ amarillos; cada capa $a \times 1 \times c$ tiene exactamente $20$ verdes y $25$ amarillos, por lo que tiene exactamente $ac - 45$ rojos. Contar los cubos verdes de toda la caja de ambas maneras da $12a = 20b,$ así que $3a = 5b.$ Contar los amarillos de ambas maneras da $a(bc - 21) = 25b = 15a,$ así que $bc = 36.$ Contar los rojos de ambas maneras da $b(ac - 45) = 9a,$ y $\frac{9a}{b} = 15,$ así que $ac = 60.$

Así $a = \frac{60}{c}$ y $b = \frac{36}{c}$ son enteros positivos, así que $c$ divide a $\gcd(60, 36) = 12,$ y el volumen es $abc = \frac{60 \cdot 36}{c} = \frac{2160}{c},$ mínimo cuando $c = 12:$ volumen $180$ con $(a, b, c) = (5, 3, 12).$

Esto es alcanzable: colorea cada capa $1 \times 3 \times 12$ con tres filas idénticas RRRGGGGYYYYY. Entonces cada capa $1 \times 3 \times 12$ tiene $9$ cubos rojos, $12$ verdes y $15$ amarillos, y cada capa $5 \times 1 \times 12$ tiene $15$ rojos, $20$ verdes y $25$ amarillos. Así que el menor volumen posible es $180.$

Each $1 \times b \times c$ layer has exactly $9$ red and $12$ green cubes, hence exactly $bc - 21$ yellow; each $a \times 1 \times c$ layer has exactly $20$ green and $25$ yellow, hence exactly $ac - 45$ red. Counting green cubes in the whole box both ways gives $12a = 20b,$ so $3a = 5b.$ Counting yellow both ways gives $a(bc - 21) = 25b = 15a,$ so $bc = 36.$ Counting red both ways gives $b(ac - 45) = 9a,$ and $\frac{9a}{b} = 15,$ so $ac = 60.$

Thus $a = \frac{60}{c}$ and $b = \frac{36}{c}$ are positive integers, so $c$ divides $\gcd(60, 36) = 12,$ and the volume is $abc = \frac{60 \cdot 36}{c} = \frac{2160}{c},$ smallest when $c = 12:$ volume $180$ with $(a, b, c) = (5, 3, 12).$

This is achievable: color every $1 \times 3 \times 12$ layer with three identical rows RRRGGGGYYYYY. Then each $1 \times 3 \times 12$ layer has $9$ red, $12$ green, and $15$ yellow cubes, and each $5 \times 1 \times 12$ layer has $15$ red, $20$ green, and $25$ yellow cubes. So the smallest possible volume is $180.$

5.

El triángulo $ABC_0$ tiene un ángulo recto en $C_0.$ Sus longitudes de lados son enteros positivos primos entre sí dos a dos, y su perímetro es $p.$ Sea $C_1$ el pie de la altura a $\overline{AB},$ y para $n \ge 2,$ sea $C_n$ el pie de la altura a $\overline{C_{n-2}B}$ en $\triangle C_{n-2}C_{n-1}B.$ La suma $\sum_{n=1}^{\infty} C_{n-1}C_n = 6p.$ Halla $p.$

Triangle $ABC_0$ has a right angle at $C_0.$ Its side lengths are pairwise relatively prime positive integers, and its perimeter is $p.$ Let $C_1$ be the foot of the altitude to $\overline{AB},$ and for $n \ge 2,$ let $C_n$ be the foot of the altitude to $\overline{C_{n-2}B}$ in $\triangle C_{n-2}C_{n-1}B.$ The sum $\sum_{n=1}^{\infty} C_{n-1}C_n = 6p.$ Find $p.$

Respuesta

Conceptos:semejanza sucesión geométrica Terna pitagórica

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Sean $a = BC_0,$ $b = AC_0,$ y $c = AB.$ La altura da $C_0C_1 = \frac{ab}{c},$ y $\triangle C_0C_1B \sim \triangle AC_0B$ con razón $\frac{a}{c}.$ Cada altura posterior repite esta construcción en un triángulo reducido por $\frac{a}{c},$ así que los segmentos $C_{n-1}C_n$ forman una serie geométrica y $\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{\infty} C_{n-1}C_n \\ &= \frac{ab/c}{1 - a/c} \\ &= \frac{ab}{c - a} \\ &= 6p = 6(a + b + c). \end{aligned}$

Como $b^2 = c^2 - a^2 = (c - a)(c + a),$ obtenemos $\begin{aligned} &(c - a) \\ &\quad {}\cdot (a + b + c) \\ &= (c - a)(c + a) \\ &\quad {}+ (c - a)b \\ &= b(b + c - a), \end{aligned}$ así que $ab = 6b(b + c - a),$ es decir $7a = 6b + 6c.$ Elevar al cuadrado $6c = 7a - 6b$ y usar $36c^2 = 36a^2 + 36b^2$ da $36a^2 = 49a^2 - 84ab,$ por tanto $13a = 84b.$

Como las longitudes de los lados son primas entre sí dos a dos, $a = 84$ y $b = 13,$ así que $c = \frac{7 \cdot 84 - 6 \cdot 13}{6} = 85,$ y en efecto $13^2 + 84^2 = 85^2.$ Entonces $p = 84 + 13 + 85 = 182$ (y $\frac{ab}{c - a} = \frac{84 \cdot 13}{1} = 1092 = 6p$ se comprueba).

Let $a = BC_0,$ $b = AC_0,$ and $c = AB.$ The altitude gives $C_0C_1 = \frac{ab}{c},$ and $\triangle C_0C_1B \sim \triangle AC_0B$ with ratio $\frac{a}{c}.$ Each later altitude repeats this construction in a triangle scaled by $\frac{a}{c},$ so the segments $C_{n-1}C_n$ form a geometric series and $\begin{aligned} &\sum_{n=1}^{\infty} C_{n-1}C_n \\ &= \frac{ab/c}{1 - a/c} \\ &= \frac{ab}{c - a} \\ &= 6p = 6(a + b + c). \end{aligned}$

Since $b^2 = c^2 - a^2 = (c - a)(c + a),$ we get $\begin{aligned} &(c - a) \\ &\quad {}\cdot (a + b + c) \\ &= (c - a)(c + a) \\ &\quad {}+ (c - a)b \\ &= b(b + c - a), \end{aligned}$ so $ab = 6b(b + c - a),$ that is $7a = 6b + 6c.$ Squaring $6c = 7a - 6b$ and using $36c^2 = 36a^2 + 36b^2$ gives $36a^2 = 49a^2 - 84ab,$ hence $13a = 84b.$

Because the side lengths are pairwise relatively prime, $a = 84$ and $b = 13,$ so $c = \frac{7 \cdot 84 - 6 \cdot 13}{6} = 85,$ and indeed $13^2 + 84^2 = 85^2.$ Then $p = 84 + 13 + 85 = 182$ (and $\frac{ab}{c - a} = \frac{84 \cdot 13}{1} = 1092 = 6p$ checks).

6.

Para el polinomio $P(x) = 1 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x^2,$ define $\begin{aligned} Q(x) &= P(x)P(x^3)P(x^5) \\ &\quad {}\cdot P(x^7)P(x^9) \\ &= \sum_{i=0}^{50} a_i x^i. \end{aligned}$ Entonces $\sum_{i=0}^{50} |a_i| = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

For polynomial $P(x) = 1 - \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x^2,$ define $\begin{aligned} Q(x) &= P(x)P(x^3)P(x^5) \\ &\quad {}\cdot P(x^7)P(x^9) \\ &= \sum_{i=0}^{50} a_i x^i. \end{aligned}$ Then $\sum_{i=0}^{50} |a_i| = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:polinomio sustitución

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

Cada potencia sustituida $x, x^3, x^5, x^7, x^9$ es impar, así que $Q(-x)$ $= P(-x)P(-x^3)P(-x^5)$ $\cdot P(-x^7)P(-x^9).$ Como $P(-x) = 1 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x^2$ tiene solo coeficientes no negativos, también los tiene cada factor $P(-x^k),$ y por tanto también el producto $Q(-x).$ El coeficiente de $x^i$ en $Q(-x)$ es $(-1)^i a_i,$ así que $|a_i| = (-1)^i a_i.$

Por tanto $\begin{aligned} \sum_{i=0}^{50} |a_i| &= Q(-1) = P(-1)^5 \\ &= \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)^5 \\ &= \left(\frac{3}{2}\right)^5 = \frac{243}{32}, \end{aligned}$ y $m + n = 243 + 32 = 275.$

Every substituted power $x, x^3, x^5, x^7, x^9$ is odd, so $Q(-x)$ $= P(-x)P(-x^3)P(-x^5)$ $\cdot P(-x^7)P(-x^9).$ Since $P(-x) = 1 + \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x^2$ has only nonnegative coefficients, so does each factor $P(-x^k),$ and hence so does the product $Q(-x).$ The coefficient of $x^i$ in $Q(-x)$ is $(-1)^i a_i,$ so $|a_i| = (-1)^i a_i.$

Therefore $\begin{aligned} \sum_{i=0}^{50} |a_i| &= Q(-1) = P(-1)^5 \\ &= \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)^5 \\ &= \left(\frac{3}{2}\right)^5 = \frac{243}{32}, \end{aligned}$ and $m + n = 243 + 32 = 275.$

7.

Los cuadrados $ABCD$ y $EFGH$ tienen un centro común y $\overline{AB} \parallel \overline{EF}.$ El área de $ABCD$ es $2016,$ y el área de $EFGH$ es un entero positivo menor. Se construye el cuadrado $IJKL$ de modo que cada uno de sus vértices esté sobre un lado de $ABCD$ y cada vértice de $EFGH$ esté sobre un lado de $IJKL.$ Halla la diferencia entre el mayor y el menor valor entero posible para el área de $IJKL.$

Squares $ABCD$ and $EFGH$ have a common center and $\overline{AB} \parallel \overline{EF}.$ The area of $ABCD$ is $2016,$ and the area of $EFGH$ is a smaller positive integer. Square $IJKL$ is constructed so that each of its vertices lies on a side of $ABCD$ and each vertex of $EFGH$ lies on a side of $IJKL.$ Find the difference between the largest and smallest possible integer values for the area of $IJKL.$

Respuesta

Conceptos:cuadrado (geometría)trigonometría sucesión geométrica divisibilidad

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Si un cuadrado de lado $t$ tiene sus vértices sobre los lados de un cuadrado concéntrico de lado $s$ y está inclinado un ángulo $\theta,$ cada lado del cuadrado exterior se divide en trozos $t\cos\theta$ y $t\sin\theta,$ así que $s = t(\cos\theta + \sin\theta).$ Esto se aplica a $IJKL$ (lado $t$ ) dentro de $ABCD$ (lado $s$ ) con algún ángulo $\theta.$ Como $\overline{EF} \parallel \overline{AB},$ el cuadrado $EFGH$ (lado $u$ ) forma el mismo ángulo $\theta$ con $IJKL,$ así que también $t = u(\cos\theta + \sin\theta).$

Por tanto $\frac{s}{t} = \frac{t}{u},$ así que las tres áreas forman una progresión geométrica: el área de $EFGH$ es igual a $\frac{T^2}{2016},$ donde $T$ es el área de $IJKL.$ Cuando $\theta$ recorre $\left(0^\circ, 90^\circ\right),$ el factor $(\cos\theta + \sin\theta)^2$ toma todos los valores de $(1, 2],$ así que $T = \frac{2016}{(\cos\theta + \sin\theta)^2}$ toma todos los valores de $[1008, 2016)$ ( $\theta = 0^\circ$ se excluye porque $EFGH$ es menor que $ABCD$ ). Para que $\frac{T^2}{2016}$ sea entero, $2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7$ debe dividir a $T^2,$ lo que obliga a que $2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 168$ divida a $T.$

Los múltiplos de $168$ en $[1008, 2016)$ van desde $1008$ hasta $1848,$ y cada uno se alcanza con un $\theta$ apropiado, siendo entonces el área de $EFGH$ un entero positivo menor que $2016.$ La diferencia es $1848 - 1008 = 840.$

If a square of side $t$ has its vertices on the sides of a concentric square of side $s$ and is tilted by angle $\theta,$ each side of the outer square is split into pieces $t\cos\theta$ and $t\sin\theta,$ so $s = t(\cos\theta + \sin\theta).$ This applies to $IJKL$ (side $t$ ) in $ABCD$ (side $s$ ) with some angle $\theta.$ Since $\overline{EF} \parallel \overline{AB},$ square $EFGH$ (side $u$ ) makes the same angle $\theta$ with $IJKL,$ so also $t = u(\cos\theta + \sin\theta).$

Hence $\frac{s}{t} = \frac{t}{u},$ so the three areas form a geometric progression: the area of $EFGH$ equals $\frac{T^2}{2016},$ where $T$ is the area of $IJKL.$ As $\theta$ ranges over $\left(0^\circ, 90^\circ\right),$ the factor $(\cos\theta + \sin\theta)^2$ takes every value in $(1, 2],$ so $T = \frac{2016}{(\cos\theta + \sin\theta)^2}$ takes every value in $[1008, 2016)$ ( $\theta = 0^\circ$ is excluded because $EFGH$ is smaller than $ABCD$ ). For $\frac{T^2}{2016}$ to be an integer, $2016 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 7$ must divide $T^2,$ which forces $2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 168$ to divide $T.$

The multiples of $168$ in $[1008, 2016)$ run from $1008$ to $1848,$ and each is attained by an appropriate $\theta,$ with the area of $EFGH$ then a positive integer less than $2016.$ The difference is $1848 - 1008 = 840.$

8.

Halla el número de conjuntos $\{a, b, c\}$ de tres enteros positivos distintos con la propiedad de que el producto de $a,$ $b,$ y $c$ es igual al producto de $11,$ $21,$ $31,$ $41,$ $51,$ y $61.$

Find the number of sets $\{a, b, c\}$ of three distinct positive integers with the property that the product of $a,$ $b,$ and $c$ is equal to the product of $11,$ $21,$ $31,$ $41,$ $51,$ and $61.$

Respuesta

Conceptos:factorización en primos principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2710

Solución:

Cuenta las ternas ordenadas $(a, b, c)$ con $\begin{aligned} abc &= 11 \cdot 21 \cdot 31 \cdot 41 \cdot 51 \cdot 61 \\ &= 3^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 17 \cdot 31 \cdot 41 \\ &\quad {}\cdot 61 = N. \end{aligned}$ Cada uno de los seis primos $7, 11, 17, 31, 41, 61$ aparece una vez y puede ir a cualquiera de los tres valores: $3^6$ maneras. Los dos factores de $3$ pueden repartirse entre los tres valores de $\binom{4}{2} = 6$ maneras. Eso da $6 \cdot 3^6 = 4374$ ternas ordenadas.

Si dos de los tres valores fueran iguales, su valor común $v$ satisfaría $v^2 \mid N,$ así que $v = 1$ o $v = 3.$ Esto produce las ternas con valores $\{1, 1, N\}$ y $\{3, 3, \frac{N}{9}\},$ cada una en $3$ órdenes, para $6$ ternas ordenadas en total (que los tres sean iguales es imposible). Las $4374 - 6 = 4368$ ternas ordenadas restantes tienen entradas distintas, y cada conjunto $\{a, b, c\}$ se cuenta $3! = 6$ veces.

Así que el número de conjuntos es $\frac{4368}{6} = 728.$

Count ordered triples $(a, b, c)$ with $\begin{aligned} abc &= 11 \cdot 21 \cdot 31 \cdot 41 \cdot 51 \cdot 61 \\ &= 3^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 17 \cdot 31 \cdot 41 \\ &\quad {}\cdot 61 = N. \end{aligned}$ Each of the six primes $7, 11, 17, 31, 41, 61$ appears once and can go to any of the three values: $3^6$ ways. The two factors of $3$ can be split among the three values in $\binom{4}{2} = 6$ ways. That gives $6 \cdot 3^6 = 4374$ ordered triples.

If two of the three values were equal, their common value $v$ would satisfy $v^2 \mid N,$ so $v = 1$ or $v = 3.$ This produces the triples with values $\{1, 1, N\}$ and $\{3, 3, \frac{N}{9}\},$ each in $3$ orders, for $6$ ordered triples in all (all three equal is impossible). The remaining $4374 - 6 = 4368$ ordered triples have distinct entries, and each set $\{a, b, c\}$ is counted $3! = 6$ times.

So the number of sets is $\frac{4368}{6} = 728.$

9.

Las sucesiones de enteros positivos $1, a_2, a_3, \ldots$ y $1, b_2, b_3, \ldots$ son una sucesión aritmética creciente y una sucesión geométrica creciente, respectivamente. Sea $c_n = a_n + b_n.$ Existe un entero $k$ tal que $c_{k-1} = 100$ y $c_{k+1} = 1000.$ Halla $c_k.$

The sequences of positive integers $1, a_2, a_3, \ldots$ and $1, b_2, b_3, \ldots$ are an increasing arithmetic sequence and an increasing geometric sequence, respectively. Let $c_n = a_n + b_n.$ There is an integer $k$ such that $c_{k-1} = 100$ and $c_{k+1} = 1000.$ Find $c_k.$

Respuesta

Conceptos:sucesión aritmética sucesión geométrica aritmética modular análisis por casos

Nivel de dificultad: 2920

Solución:

Escribe $a_n = 1 + (n-1)d$ y $b_n = r^{n-1}$ con enteros $d \ge 1$ y $r \ge 2.$ Como $c_1 = 2 \lt 100,$ tenemos $k \ge 3,$ y las dos condiciones dicen $(k-2)d + r^{k-2} = 99,$ $kd + r^k = 999.$

Restando, $2d + r^{k-3}(r-1)r(r+1) = 900.$ El producto de tres enteros consecutivos es divisible por $3,$ así que $3 \mid 2d,$ por tanto $3 \mid d.$ Entonces $(k-2)d + r^{k-2} = 99$ obliga a $3 \mid r^{k-2},$ así que $3 \mid r.$ Las cotas $r^{k-2} \le 98$ y $r^k \le 998$ dejan solo $(r, k) = (3, 3),$ $(3, 4),$ $(3, 5),$ $(3, 6),$ $(6, 3),$ $(9, 3).$

Probando cada uno contra $(k-2)d = 99 - r^{k-2}$ y $kd = 999 - r^k,$ solo $(r, k) = (9, 3)$ da un valor consistente, $d = 90.$ Entonces $c_3 = 1 + 2 \cdot 90 + 9^2 = 262.$

Write $a_n = 1 + (n-1)d$ and $b_n = r^{n-1}$ with integers $d \ge 1$ and $r \ge 2.$ Since $c_1 = 2 \lt 100,$ we have $k \ge 3,$ and the two conditions read $(k-2)d + r^{k-2} = 99,$ $kd + r^k = 999.$

Subtracting, $2d + r^{k-3}(r-1)r(r+1) = 900.$ The product of three consecutive integers is divisible by $3,$ so $3 \mid 2d,$ hence $3 \mid d.$ Then $(k-2)d + r^{k-2} = 99$ forces $3 \mid r^{k-2},$ so $3 \mid r.$ The bounds $r^{k-2} \le 98$ and $r^k \le 998$ leave only $(r, k) = (3, 3),$ $(3, 4),$ $(3, 5),$ $(3, 6),$ $(6, 3),$ $(9, 3).$

Testing each against $(k-2)d = 99 - r^{k-2}$ and $kd = 999 - r^k,$ only $(r, k) = (9, 3)$ gives a consistent value, $d = 90.$ Then $c_3 = 1 + 2 \cdot 90 + 9^2 = 262.$

10.

El triángulo $ABC$ está inscrito en la circunferencia $\omega.$ Los puntos $P$ y $Q$ están sobre el lado $\overline{AB}$ con $AP \lt AQ.$ Los rayos $CP$ y $CQ$ cortan de nuevo a $\omega$ en $S$ y $T$ (distintos de $C$ ), respectivamente. Si $AP = 4,$ $PQ = 3,$ $QB = 6,$ $BT = 5,$ y $AS = 7,$ entonces $ST = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

Triangle $ABC$ is inscribed in circle $\omega.$ Points $P$ and $Q$ are on side $\overline{AB}$ with $AP \lt AQ.$ Rays $CP$ and $CQ$ meet $\omega$ again at $S$ and $T$ (other than $C$ ), respectively. If $AP = 4,$ $PQ = 3,$ $QB = 6,$ $BT = 5,$ and $AS = 7,$ then $ST = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:potencia de un punto cuadrilátero cíclico persecución de ángulos semejanza

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Por la potencia de un punto en $Q$ respecto a $\omega,$ $QC \cdot QT = QA \cdot QB$ $= 7 \cdot 6 = 42.$ Prolonga $\overline{AB}$ más allá de $B$ hasta el punto $R$ con $BR = 8,$ de modo que $QR = QB + BR = 14$ y $QP \cdot QR = 3 \cdot 14$ $= 42 = QC \cdot QT.$ Por el recíproco de la potencia de un punto, $C,$ $P,$ $T,$ y $R$ son concíclicos.

En la circunferencia $CPTR,$ $\angle BRT = \angle PRT = \angle PCT,$ y en $\omega,$ $\angle PCT = \angle SCT = \angle SAT$ (ambos subtienden el arco $ST$ ). Además $ASTB$ es cíclico, así que el ángulo exterior del cuadrilátero en $B$ es igual al ángulo interior opuesto: $\angle RBT = \angle AST.$ Por tanto $\triangle AST \sim \triangle RBT.$

Por tanto $\frac{ST}{BT} = \frac{AS}{RB},$ así que $ST = 5 \cdot \frac{7}{8} = \frac{35}{8},$ y $m + n = 35 + 8 = 43.$

By Power of a Point at $Q$ in $\omega,$ $QC \cdot QT = QA \cdot QB$ $= 7 \cdot 6 = 42.$ Extend $\overline{AB}$ beyond $B$ to the point $R$ with $BR = 8,$ so that $QR = QB + BR = 14$ and $QP \cdot QR = 3 \cdot 14$ $= 42 = QC \cdot QT.$ By the converse of Power of a Point, $C,$ $P,$ $T,$ and $R$ are concyclic.

In circle $CPTR,$ $\angle BRT = \angle PRT = \angle PCT,$ and in $\omega,$ $\angle PCT = \angle SCT = \angle SAT$ (both subtend arc $ST$ ). Also $ASTB$ is cyclic, so the exterior angle of the quadrilateral at $B$ equals the opposite interior angle: $\angle RBT = \angle AST.$ Hence $\triangle AST \sim \triangle RBT.$

Therefore $\frac{ST}{BT} = \frac{AS}{RB},$ so $ST = 5 \cdot \frac{7}{8} = \frac{35}{8},$ and $m + n = 35 + 8 = 43.$

11.

Para enteros positivos $N$ y $k,$ se dice que $N$ es $k$ -nice si existe un entero positivo $a$ tal que $a^k$ tiene exactamente $N$ divisores positivos. Halla el número de enteros positivos menores que $1000$ que no son ni $7$ -nice ni $8$ -nice.

For positive integers $N$ and $k,$ define $N$ to be $k$ -nice if there exists a positive integer $a$ such that $a^k$ has exactly $N$ positive divisors. Find the number of positive integers less than $1000$ that are neither $7$ -nice nor $8$ -nice.

Respuesta

Conceptos:conteo de factores aritmética modular inclusión-exclusión

Nivel de dificultad: 2990

Solución:

Si $a = p_1^{m_1} \cdots p_t^{m_t},$ entonces $a^k$ tiene $(km_1 + 1)(km_2 + 1)$ $\cdots (km_t + 1)$ divisores positivos, y cada factor es $\equiv 1 \pmod{k},$ así que el producto también. Recíprocamente, si $N = km + 1,$ entonces $a = p^m$ da $a^k = p^{km}$ con exactamente $N$ divisores. Así que $N$ es $k$ -nice exactamente cuando $N \equiv 1 \pmod{k}.$

Entre $1, 2, \ldots, 999$ hay $143$ enteros $\equiv 1 \pmod{7}$ (a saber $1, 8, \ldots, 995$ ) y $125$ enteros $\equiv 1 \pmod{8}$ (a saber $1, 9, \ldots, 993$ ). Como $\operatorname{lcm}(7, 8) = 56,$ hay $18$ enteros $\equiv 1 \pmod{56}$ (a saber $1, 57, \ldots, 953$ ). Por inclusión-exclusión, $143 + 125 - 18 = 250$ de ellos son $7$ -nice u $8$ -nice.

Por tanto $999 - 250 = 749$ enteros positivos menores que $1000$ no son ninguno de los dos.

If $a = p_1^{m_1} \cdots p_t^{m_t},$ then $a^k$ has $(km_1 + 1)(km_2 + 1)$ $\cdots (km_t + 1)$ positive divisors, and each factor is $\equiv 1 \pmod{k},$ so the product is too. Conversely, if $N = km + 1,$ then $a = p^m$ gives $a^k = p^{km}$ with exactly $N$ divisors. So $N$ is $k$ -nice exactly when $N \equiv 1 \pmod{k}.$

Among $1, 2, \ldots, 999$ there are $143$ integers $\equiv 1 \pmod{7}$ (namely $1, 8, \ldots, 995$ ) and $125$ integers $\equiv 1 \pmod{8}$ (namely $1, 9, \ldots, 993$ ). Since $\operatorname{lcm}(7, 8) = 56,$ there are $18$ integers $\equiv 1 \pmod{56}$ (namely $1, 57, \ldots, 953$ ). By inclusion-exclusion, $143 + 125 - 18 = 250$ of them are $7$ -nice or $8$ -nice.

Hence $999 - 250 = 749$ positive integers less than $1000$ are neither.

12.

La figura de abajo muestra un anillo formado por seis secciones pequeñas que vas a pintar en una pared. Tienes cuatro colores de pintura disponibles y pintarás cada una de las seis secciones de un color sólido. Halla el número de maneras en que puedes elegir pintar las secciones si no se pueden pintar dos secciones adyacentes del mismo color.

The figure below shows a ring made of six small sections which you are to paint on a wall. You have four paint colors available and will paint each of the six sections a solid color. Find the number of ways you can choose to paint the sections if no two adjacent sections can be painted with the same color.

Respuesta

Conceptos:teoría de grafos conteo recursivo

Nivel de dificultad: 2400

Solución:

Sea $P_n$ el número de coloraciones válidas de un anillo de $n$ secciones. Cortar un anillo entre dos secciones adyacentes muestra que las coloraciones del anillo corresponden exactamente a filas de $n$ secciones con colores adyacentes distintos y los dos colores de los extremos distintos. Una fila de $n$ secciones con colores adyacentes distintos puede pintarse de $4 \cdot 3^{n-1}$ maneras, y las filas cuyos colores de los extremos coinciden corresponden, al fusionar las dos secciones extremas en una, a coloraciones de anillo de $n - 1$ secciones. Por tanto $P_n + P_{n-1} = 4 \cdot 3^{n-1}.$

Tres secciones mutuamente adyacentes dan $P_3 = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24,$ así que $P_4 = 108 - 24 = 84,$ luego $P_5 = 324 - 84 = 240,$ y finalmente $P_6 = 972 - 240 = 732.$

Let $P_n$ be the number of valid paintings of a ring of $n$ sections. Cutting a ring open between two adjacent sections shows that ring paintings correspond exactly to rows of $n$ sections with adjacent colors different and the two end colors different. A row of $n$ sections with adjacent colors different can be painted in $4 \cdot 3^{n-1}$ ways, and the rows whose end colors match correspond, by merging the two end sections into one, to ring paintings of $n - 1$ sections. Hence $P_n + P_{n-1} = 4 \cdot 3^{n-1}.$

Three mutually adjacent sections give $P_3 = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24,$ so $P_4 = 108 - 24 = 84,$ then $P_5 = 324 - 84 = 240,$ and finally $P_6 = 972 - 240 = 732.$

13.

Beatrix va a colocar seis torres en un tablero de ajedrez de $6 \times 6$ donde tanto las filas como las columnas están numeradas del $1$ al $6;$ las torres se colocan de modo que no haya dos torres en la misma fila o en la misma columna. El valor de una casilla es la suma de su número de fila y su número de columna. La puntuación de una disposición de torres es el menor valor de cualquier casilla ocupada. La puntuación media sobre todas las configuraciones válidas es $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $p + q.$

Beatrix is going to place six rooks on a $6 \times 6$ chessboard where both the rows and columns are labeled $1$ to $6;$ the rooks are placed so that no two rooks are in the same row or the same column. The value of a square is the sum of its row number and column number. The score of an arrangement of rooks is the least value of any occupied square. The average score over all valid configurations is $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Conceptos:valor esperado permutaciones arreglos con restricciones

Nivel de dificultad: 3160

Solución:

Hay $6! = 720$ disposiciones, y toda puntuación está entre $2$ y $7.$ Sea $b_n$ el número de disposiciones con puntuación al menos $n.$ Como cada puntuación $s$ satisface $s = 2 + \#\{n \ge 3 : s \ge n\},$ el total de las $720$ puntuaciones es $2 \cdot 720 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 + b_7.$

Una puntuación $\ge n$ significa que ninguna torre ocupa una casilla con fila + columna $\lt n.$ Coloca las torres fila por fila. Para $b_3,$ solo $(1,1)$ está prohibida: $5 \cdot 5! = 600.$ Para $b_4,$ la fila $1$ tiene $4$ columnas permitidas, luego la fila $2$ tiene $4$ (se excluyen la columna $1$ y la columna ya usada): $4 \cdot 4 \cdot 4! = 384.$ Análogamente $b_5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3! = 162,$ $b_6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2! = 32,$ y $b_7 = 1$ (todas las torres en la antidiagonal).

El total es $1440 + 600 + 384$ $+ 162 + 32 + 1 = 2619,$ así que la media es $\frac{2619}{720} = \frac{291}{80},$ y $p + q = 291 + 80 = 371.$

There are $6! = 720$ arrangements, and every score lies between $2$ and $7.$ Let $b_n$ be the number of arrangements with score at least $n.$ Since each score $s$ satisfies $s = 2 + \#\{n \ge 3 : s \ge n\},$ the total of all $720$ scores is $2 \cdot 720 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 + b_7.$

Score $\ge n$ means no rook occupies a square with row + column $\lt n.$ Place the rooks row by row. For $b_3,$ only $(1,1)$ is banned: $5 \cdot 5! = 600.$ For $b_4,$ row $1$ has $4$ allowed columns, then row $2$ has $4$ (column $1$ and the used column are excluded): $4 \cdot 4 \cdot 4! = 384.$ Similarly $b_5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3! = 162,$ $b_6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2! = 32,$ and $b_7 = 1$ (all rooks on the anti-diagonal).

The total is $1440 + 600 + 384$ $+ 162 + 32 + 1 = 2619,$ so the average is $\frac{2619}{720} = \frac{291}{80},$ and $p + q = 291 + 80 = 371.$

14.

El $\triangle ABC$ equilátero tiene lado $600.$ Los puntos $P$ y $Q$ están fuera del plano de $\triangle ABC$ y en lados opuestos del plano. Además, $PA = PB = PC,$ y $QA = QB = QC,$ y los planos de $\triangle PAB$ y $\triangle QAB$ forman un ángulo diedro de $120^\circ$ (el ángulo entre los dos planos). Existe un punto $O$ cuya distancia a cada uno de $A,$ $B,$ $C,$ $P,$ y $Q$ es $d.$ Halla $d.$

Equilateral $\triangle ABC$ has side length $600.$ Points $P$ and $Q$ lie outside the plane of $\triangle ABC$ and are on opposite sides of the plane. Furthermore, $PA = PB = PC,$ and $QA = QB = QC,$ and the planes of $\triangle PAB$ and $\triangle QAB$ form a $120^\circ$ dihedral angle (the angle between the two planes). There is a point $O$ whose distance from each of $A,$ $B,$ $C,$ $P,$ and $Q$ is $d.$ Find $d.$

Respuesta

Conceptos:Geometría 3D identidad trigonométrica ángulo inscrito simetría

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Como $PA = PB = PC$ y $QA = QB = QC,$ tanto $P$ como $Q$ están en la recta que pasa por el centro $H$ de $\triangle ABC$ perpendicular a su plano, en lados opuestos. Cualquier punto equidistante de $A,$ $B,$ $C$ también está en esa recta, así que $O$ está en ella, y $OP = OQ = d$ hace de $O$ el punto medio de $\overline{PQ},$ con $PQ = 2d.$ Sea $D$ el punto medio de $\overline{AB}$ y $a = 600;$ entonces $DH = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ y $CH = \frac{a\sqrt{3}}{3}.$ Como $\overline{PD} \perp \overline{AB}$ y $\overline{QD} \perp \overline{AB},$ el ángulo diedro es $\angle PDQ = 120^\circ;$ escribimos $x = \angle PDH$ y $y = \angle QDH,$ así que $x + y = 120^\circ.$

Los triángulos rectángulos $PDH$ y $QDH$ dan $PH = DH \tan x$ y $QH = DH \tan y,$ así que $\begin{aligned} 2d = PQ &= PH \\ &\quad {}+ QH \\ &= \frac{a\sqrt{3}}{6} \\ &\quad {}\cdot (\tan x + \tan y). \end{aligned}$ Como $OC = OP = OQ = d,$ el punto $C$ está en la circunferencia de diámetro $\overline{PQ},$ así que $\angle PCQ = 90^\circ,$ y $H$ es el pie de la altura desde $C$ a la hipotenusa $\overline{PQ}.$ Por tanto $CH^2 = PH \cdot QH,$ lo que da $\tan x \tan y = \frac{CH^2}{DH^2} = 4.$

Por la fórmula de adición de la tangente, $-\sqrt{3} = \tan 120^\circ$ $= \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ $= \frac{\tan x + \tan y}{-3},$ así que $\tan x + \tan y = 3\sqrt{3}.$ Entonces $2d = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{3a}{2},$ así que $d = \frac{3a}{4} = 450.$

Since $PA = PB = PC$ and $QA = QB = QC,$ both $P$ and $Q$ lie on the line through the center $H$ of $\triangle ABC$ perpendicular to its plane, on opposite sides. Any point equidistant from $A,$ $B,$ $C$ also lies on that line, so $O$ is on it, and $OP = OQ = d$ makes $O$ the midpoint of $\overline{PQ},$ with $PQ = 2d.$ Let $D$ be the midpoint of $\overline{AB}$ and $a = 600;$ then $DH = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ and $CH = \frac{a\sqrt{3}}{3}.$ Since $\overline{PD} \perp \overline{AB}$ and $\overline{QD} \perp \overline{AB},$ the dihedral angle is $\angle PDQ = 120^\circ;$ write $x = \angle PDH$ and $y = \angle QDH,$ so $x + y = 120^\circ.$

Right triangles $PDH$ and $QDH$ give $PH = DH \tan x$ and $QH = DH \tan y,$ so $\begin{aligned} 2d = PQ &= PH \\ &\quad {}+ QH \\ &= \frac{a\sqrt{3}}{6} \\ &\quad {}\cdot (\tan x + \tan y). \end{aligned}$ Since $OC = OP = OQ = d,$ point $C$ lies on the circle with diameter $\overline{PQ},$ so $\angle PCQ = 90^\circ,$ and $H$ is the foot of the altitude from $C$ to the hypotenuse $\overline{PQ}.$ Thus $CH^2 = PH \cdot QH,$ which gives $\tan x \tan y = \frac{CH^2}{DH^2} = 4.$

By the tangent addition formula, $-\sqrt{3} = \tan 120^\circ$ $= \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ $= \frac{\tan x + \tan y}{-3},$ so $\tan x + \tan y = 3\sqrt{3}.$ Then $2d = \frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{3a}{2},$ so $d = \frac{3a}{4} = 450.$

15.

Para $1 \le i \le 215$ sea $a_i = \frac{1}{2^i}$ y $a_{216} = \frac{1}{2^{215}}.$ Sean $x_1, x_2, \ldots, x_{216}$ números reales positivos tales que $\sum_{i=1}^{216} x_i = 1$ y $\begin{aligned} &\sum_{1 \le i \lt j \le 216} x_i x_j \\ &= \frac{107}{215} \\ &\quad {}+ \sum_{i=1}^{216} \frac{a_i x_i^2}{2(1 - a_i)}. \end{aligned}$ El máximo valor posible de $x_2 = \frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. Halla $m + n.$

For $1 \le i \le 215$ let $a_i = \frac{1}{2^i}$ and $a_{216} = \frac{1}{2^{215}}.$ Let $x_1, x_2, \ldots, x_{216}$ be positive real numbers such that $\sum_{i=1}^{216} x_i = 1$ and $\begin{aligned} &\sum_{1 \le i \lt j \le 216} x_i x_j \\ &= \frac{107}{215} \\ &\quad {}+ \sum_{i=1}^{216} \frac{a_i x_i^2}{2(1 - a_i)}. \end{aligned}$ The maximum possible value of $x_2 = \frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:Desigualdad de Cauchy-Schwarz desigualdad manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 3500

Solución:

Como $\sum x_i = 1,$ tenemos $2\sum_{i \lt j} x_i x_j = 1 - \sum x_i^2.$ Duplicando la ecuación dada y reordenando, $\begin{aligned} 1 - \sum_{i=1}^{216} x_i^2 &= \frac{214}{215} \\ &\quad {}+ \sum_{i=1}^{216} \frac{a_i x_i^2}{1 - a_i}, \end{aligned}$ así que $\begin{aligned} \frac{1}{215} &= \sum_{i=1}^{216}\left(1 + \frac{a_i}{1 - a_i}\right)x_i^2 \\ &= \sum_{i=1}^{216} \frac{x_i^2}{1 - a_i}. \end{aligned}$

Ahora $\sum a_i = \left(\frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2^{215}}\right)$ $+ \frac{1}{2^{215}} = 1,$ así que $\sum (1 - a_i) = 216 - 1 = 215.$ Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, $\begin{aligned} 1 &= \left(\sum_{i=1}^{216} x_i\right)^2 \\ &\le \left(\sum_{i=1}^{216} \frac{x_i^2}{1 - a_i}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\sum_{i=1}^{216} (1 - a_i)\right) \\ &= \frac{1}{215} \cdot 215 = 1. \end{aligned}$

Se cumple la igualdad, así que $x_i$ es proporcional a $1 - a_i,$ forzando $x_i = \frac{1 - a_i}{215}.$ El único, y por tanto máximo, valor posible de $x_2$ es $\frac{1 - \frac{1}{4}}{215} = \frac{3}{860},$ y $m + n = 3 + 860 = 863.$

Since $\sum x_i = 1,$ we have $2\sum_{i \lt j} x_i x_j = 1 - \sum x_i^2.$ Doubling the given equation and rearranging, $\begin{aligned} 1 - \sum_{i=1}^{216} x_i^2 &= \frac{214}{215} \\ &\quad {}+ \sum_{i=1}^{216} \frac{a_i x_i^2}{1 - a_i}, \end{aligned}$ so $\begin{aligned} \frac{1}{215} &= \sum_{i=1}^{216}\left(1 + \frac{a_i}{1 - a_i}\right)x_i^2 \\ &= \sum_{i=1}^{216} \frac{x_i^2}{1 - a_i}. \end{aligned}$

Now $\sum a_i = \left(\frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{2^{215}}\right)$ $+ \frac{1}{2^{215}} = 1,$ so $\sum (1 - a_i) = 216 - 1 = 215.$ By the Cauchy-Schwarz inequality, $\begin{aligned} 1 &= \left(\sum_{i=1}^{216} x_i\right)^2 \\ &\le \left(\sum_{i=1}^{216} \frac{x_i^2}{1 - a_i}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(\sum_{i=1}^{216} (1 - a_i)\right) \\ &= \frac{1}{215} \cdot 215 = 1. \end{aligned}$

Equality holds, so $x_i$ is proportional to $1 - a_i,$ forcing $x_i = \frac{1 - a_i}{215}.$ The only, hence maximum, possible value of $x_2$ is $\frac{1 - \frac{1}{4}}{215} = \frac{3}{860},$ and $m + n = 3 + 860 = 863.$