Question

Se eligen dos números reales

a

y

b

independientemente y de manera uniforme al azar del intervalo

(0, 75).

Sean

O

y

P

dos puntos en el plano con

OP = 200.

Sean

Q

y

R

puntos en el mismo lado de la recta

OP

tales que las medidas en grados de

\angle POQ

y

\angle POR

son

a

y

b,

respectivamente, y

\angle OQP

y

\angle ORP

son ambos ángulos rectos. La probabilidad de que

QR \le 100

es igual a

\frac{m}{n},

donde

m

y

n

son enteros positivos primos entre sí. Halla

m + n.

Two real numbers

a

and

b

are chosen independently and uniformly at random from the interval

(0, 75).

Let

O

and

P

be two points in the plane with

OP = 200.

Let

Q

and

R

be points on the same side of line

OP

such that the degree measures of

\angle POQ

and

\angle POR

are

a

and

b,

respectively, and

\angle OQP

and

\angle ORP

are both right angles. The probability that

QR \le 100

is equal to

\frac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. Find

m + n.

Respuesta

Respuesta: 41

Conceptos:probabilidad geométrica ángulo inscrito cuerda trigonometría

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Los ángulos rectos en

Q

y

R

colocan ambos puntos sobre la circunferencia de diámetro

\overline{OP},

que tiene radio

100

The right angles at

Q

and

R

place both points on the circle with diameter

\overline{OP},

which has radius

100

Pista grande:

El ángulo inscrito

\angle QOR = |a - b|

da

QR = 200\sin|a-b|,

así que la condición es

|a - b| \le 30;

halla el área de esa región en el cuadrado

75 \times 75

The inscribed angle

\angle QOR = |a - b|

gives

QR = 200\sin|a-b|,

so the condition is

|a - b| \le 30;

find that region’s area in the

75 \times 75

square

Solución:

Como

\angle OQP = \angle ORP = 90^\circ,

tanto

Q

como

R

están sobre la circunferencia de diámetro

\overline{OP},

cuyo radio es

100.

El ángulo

\angle QOR = |a - b|

es un ángulo inscrito en esta circunferencia, así que la cuerda satisface

QR = 2 \cdot 100 \cdot \sin|a - b|.

Como

|a - b| \lt 75^\circ,

la condición

QR \le 100,

es decir

\sin|a - b| \le \frac{1}{2},

equivale a

|a - b| \le 30.

En el cuadrado

75 \times 75

de pares

(a, b)

igualmente probables, la región

|a - b| \gt 30

consta de dos triángulos rectángulos con catetos

75 - 30 = 45,

así que la probabilidad es

1 - \frac{45^2}{75^2} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.

Por lo tanto

m + n = 16 + 25 = 41.

Since

\angle OQP = \angle ORP = 90^\circ,

both

Q

and

R

lie on the circle with diameter

\overline{OP},

whose radius is

100.

The angle

\angle QOR = |a - b|

is an inscribed angle in this circle, so the chord satisfies

QR = 2 \cdot 100 \cdot \sin|a - b|.

Because

|a - b| \lt 75^\circ,

the condition

QR \le 100,

i.e.

\sin|a - b| \le \frac{1}{2},

is equivalent to

|a - b| \le 30.

In the

75 \times 75

square of equally likely pairs

(a, b),

the region

|a - b| \gt 30

consists of two right triangles with legs

75 - 30 = 45,

so the probability is

1 - \frac{45^2}{75^2} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}.

Therefore

m + n = 16 + 25 = 41.

2017 AIME I Problema 8

Respuesta: 41

Nivel de dificultad: 2920

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años