Question

Un recipiente con forma de cono circular recto mide $12$ pulgadas de alto y su base tiene un radio de $5$ pulgadas. El líquido sellado en su interior tiene $9$ pulgadas de profundidad cuando el cono se sostiene con la punta hacia abajo y su base horizontal. Cuando el cono se sostiene con la punta hacia arriba y su base horizontal, el líquido tiene $m - n\sqrt[3]{p}$ pulgadas de profundidad, donde $m,$ $n,$ y $p$ son enteros positivos y $p$ no es divisible por el cubo de ningún número primo. Halla $m + n + p.$

A container in the shape of a right circular cone is $12$ inches tall and its base has a $5$ -inch radius. The liquid that is sealed inside is $9$ inches deep when the cone is held with its point down and its base horizontal. When the cone is held with its point up and its base horizontal, the liquid is $m - n\sqrt[3]{p}$ inches deep, where $m,$ $n,$ and $p$ are positive integers and $p$ is not divisible by the cube of any prime number. Find $m + n + p.$

Respuesta

Solución:

Sostenido con la punta hacia abajo, el líquido forma un cono semejante al recipiente con razón $\frac{9}{12} = \frac{3}{4},$ así que su volumen es $\left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}$ del volumen del recipiente.

Sostenido con la punta hacia arriba, el espacio vacío es un cono semejante en el vértice con $1 - \frac{27}{64} = \frac{37}{64}$ del volumen, así que su altura es $12 \sqrt[3]{\frac{37}{64}} = \frac{12 \sqrt[3]{37}}{4} = 3\sqrt[3]{37}$ pulgadas. Por lo tanto, el líquido tiene $12 - 3\sqrt[3]{37}$ pulgadas de profundidad.

Como $37$ no tiene factores cúbicos, $m + n + p = 12 + 3 + 37 = 52.$

Held point down, the liquid forms a cone similar to the container with ratio $\frac{9}{12} = \frac{3}{4},$ so its volume is $\left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}$ of the container's volume.

Held point up, the empty space is a similar cone at the apex with $1 - \frac{27}{64} = \frac{37}{64}$ of the volume, so its height is $12 \sqrt[3]{\frac{37}{64}} = \frac{12 \sqrt[3]{37}}{4} = 3\sqrt[3]{37}$ inches. The liquid is therefore $12 - 3\sqrt[3]{37}$ inches deep.

Since $37$ is cube-free, $m + n + p = 12 + 3 + 37 = 52.$

2000 AIME I Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años