Question

Los enteros positivos $N$ y $N^2$ terminan ambos en la misma secuencia de cuatro dígitos $abcd$ cuando se escriben en base $10,$ donde el dígito $a$ no es cero. Halla el número de tres dígitos $abc.$

The positive integers $N$ and $N^2$ both end in the same sequence of four digits $abcd$ when written in base $10,$ where digit $a$ is not zero. Find the three-digit number $abc.$

Respuesta

Solución:

La condición es $N^2 \equiv N \pmod{10^4},$ es decir, $N(N-1) \equiv 0 \pmod{2^4 \cdot 5^4}.$ Como los enteros consecutivos son coprimos, $16$ divide a uno de $N,$ $N - 1$ y $625$ divide a uno de ellos. Esto da cuatro casos módulo $10000:$ $N \equiv 0,$ $N \equiv 1,$ $N \equiv 625$ (que es $0$ mód $625$ y $1$ mód $16$ ), y $N \equiv 9376$ (que es $0$ mód $16$ y $1$ mód $625$ ).

Los últimos cuatro dígitos $abcd$ deben cumplir $a \ne 0,$ lo que descarta $0000,$ $0001,$ y $0625.$ Así que $abcd = 9376$ , por ejemplo $9376^2 = 87909376$ , y $abc = 937.$

The condition is $N^2 \equiv N \pmod{10^4},$ that is, $N(N-1) \equiv 0 \pmod{2^4 \cdot 5^4}.$ Since consecutive integers are coprime, $16$ divides one of $N,$ $N - 1$ and $625$ divides one of them. This gives four cases modulo $10000:$ $N \equiv 0,$ $N \equiv 1,$ $N \equiv 625$ (which is $0$ mod $625$ and $1$ mod $16$ ), and $N \equiv 9376$ (which is $0$ mod $16$ and $1$ mod $625$ ).

The last four digits $abcd$ must have $a \ne 0,$ which rules out $0000,$ $0001,$ and $0625.$ So $abcd = 9376$ — for instance $9376^2 = 87909376$ — and $abc = 937.$

2014 AIME I Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años