Question

Sea $N$ el número de divisores enteros positivos de $17017^{17}$ que dejan resto $5$ al dividir por $12.$ Halle el resto cuando $N$ se divide por $1000.$

Let $N$ be the number of positive integer divisors of $17017^{17}$ that leave a remainder of $5$ upon division by $12.$ Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Solución:

Como $17017 = 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17,$ los divisores de $17017^{17}$ son $7^a 11^b 13^c 17^d$ con cada exponente entre $0$ y $17.$ Módulo $12$ tenemos $13 \equiv 1,$ y $7^2 \equiv 11^2 \equiv 17^2 \equiv 1$ (pues $17 \equiv 5$ ), así que el residuo de un divisor es $7^{\alpha} \, 11^{\beta} \, 5^{\delta} \pmod{12},$ donde $\alpha, \beta, \delta$ son las paridades de $a, b, d.$

Los cuatro valores posibles $1, 5, 7, 11$ se multiplican como el grupo $\{1, 5, 7, 11\}$ módulo $12,$ en el que $7 \cdot 11 \equiv 5.$ Verificando los ocho patrones de paridad, el residuo es $5$ exactamente cuando $(\alpha, \beta, \delta) = (0, 0, 1)$ o $(1, 1, 0).$ Cada condición de paridad se satisface por $9$ de las $18$ elecciones de ese exponente, mientras que $c$ es libre con $18$ elecciones.

Por lo tanto $N = 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 18 = 26244,$ y el resto módulo $1000$ es $244.$

Since $17017 = 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17,$ the divisors of $17017^{17}$ are $7^a 11^b 13^c 17^d$ with each exponent between $0$ and $17.$ Modulo $12$ we have $13 \equiv 1,$ and $7^2 \equiv 11^2 \equiv 17^2 \equiv 1$ (as $17 \equiv 5$ ), so the residue of a divisor is $7^{\alpha} \, 11^{\beta} \, 5^{\delta} \pmod{12},$ where $\alpha, \beta, \delta$ are the parities of $a, b, d.$

The four possible values $1, 5, 7, 11$ multiply like the group $\{1, 5, 7, 11\}$ mod $12,$ in which $7 \cdot 11 \equiv 5.$ Checking the eight parity patterns, the residue is $5$ exactly when $(\alpha, \beta, \delta) = (0, 0, 1)$ or $(1, 1, 0).$ Each parity condition is satisfied by $9$ of the $18$ choices of that exponent, while $c$ is free with $18$ choices.

Therefore $N = 2 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 18 = 26244,$ and the remainder mod $1000$ is $244.$

2026 AIME I Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años