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2012 AIME II Problema 8

Intenta el Problema 8 del 2012 AIME II a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2012 AIME II, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

8.

Los números complejos zz y ww satisfacen el sistema z+20iw=5+i,z + \frac{20\mathrm{i}}{w} = 5 + \mathrm{i}, w+12iz=−4+10i.w + \frac{12\mathrm{i}}{z} = -4 + 10\mathrm{i}.
Halle el menor valor posible de ∣zw∣2.|zw|^2.
The complex numbers zz and ww satisfy the system z+20iw=5+i,z + \frac{20\mathrm{i}}{w} = 5 + \mathrm{i}, w+12iz=−4+10i.w + \frac{12\mathrm{i}}{z} = -4 + 10\mathrm{i}.
Find the smallest possible value of ∣zw∣2.|zw|^2.
Respuesta: 40
Conceptos:número complejosistema de ecuacionescuadrática
Nivel de dificultad: 2840
Pista pequeña:
Multiplique las dos ecuaciones: los términos cruzados se convierten en las constantes 12i12\mathrm{i} y 20i,20\mathrm{i}, dejando una ecuación en la única incógnita zwzw.
Multiply the two equations: the cross terms become the constants 12i12\mathrm{i} and 20i,20\mathrm{i}, leaving an equation in the single unknown zwzw
Pista grande:
La ecuación cuadrática en zwzw requiere 416−210i;\sqrt{416 - 210\mathrm{i}}; hállela planteando (a+bi)2=416−210i(a + b\mathrm{i})^2 = 416 - 210\mathrm{i} con enteros aa y bb.
The quadratic in zwzw needs 416−210i;\sqrt{416 - 210\mathrm{i}}; find it by setting (a+bi)2=416−210i(a + b\mathrm{i})^2 = 416 - 210\mathrm{i} with integers aa and bb
Solución:
Multiplicando las dos ecuaciones se obtiene zw+12i+20i−240zw=(5+i)(−4+10i)=−30+46i, \begin{aligned} &zw + 12\mathrm{i} + 20\mathrm{i} \\ &\quad {}- \frac{240}{zw} = (5 + \mathrm{i})(-4 + 10\mathrm{i}) \\ &\quad = -30 + 46\mathrm{i}, \end{aligned} así que zw−240zw=−30+14i.zw - \frac{240}{zw} = -30 + 14\mathrm{i}. Haciendo v=zwv = zw resulta v2+(30−14i)v−240=0.v^2 + (30 - 14\mathrm{i})v - 240 = 0.
Por la fórmula cuadrática, v=−15+7iv = -15 + 7\mathrm{i} ±(15−7i)2+240\pm \sqrt{(15 - 7\mathrm{i})^2 + 240} =−15+7i= -15 + 7\mathrm{i} ±416−210i.\pm \sqrt{416 - 210\mathrm{i}}. Escribir (a+bi)2=416−210i(a + b\mathrm{i})^2 = 416 - 210\mathrm{i} exige a2−b2=416a^2 - b^2 = 416 y ab=−105,ab = -105, lo que da a+bi=±(21−5i).a + b\mathrm{i} = \pm(21 - 5\mathrm{i}). Por lo tanto v=6+2iv = 6 + 2\mathrm{i} o v=−36+12i,v = -36 + 12\mathrm{i}, con ∣v∣2=40|v|^2 = 40 o 1440.1440.
El menor valor se alcanza: z=1−i,z = 1 - \mathrm{i}, w=2+4iw = 2 + 4\mathrm{i} satisface ambas ecuaciones con zw=6+2i.zw = 6 + 2\mathrm{i}. Así que el menor valor posible de ∣zw∣2|zw|^2 es 40.40.
Multiplying the two equations gives zw+12i+20i−240zw=(5+i)(−4+10i)=−30+46i, \begin{aligned} &zw + 12\mathrm{i} + 20\mathrm{i} \\ &\quad {}- \frac{240}{zw} = (5 + \mathrm{i})(-4 + 10\mathrm{i}) \\ &\quad = -30 + 46\mathrm{i}, \end{aligned} so zw−240zw=−30+14i.zw - \frac{240}{zw} = -30 + 14\mathrm{i}. Setting v=zwv = zw yields v2+(30−14i)v−240=0.v^2 + (30 - 14\mathrm{i})v - 240 = 0.
By the quadratic formula, v=−15+7iv = -15 + 7\mathrm{i} ±(15−7i)2+240\pm \sqrt{(15 - 7\mathrm{i})^2 + 240} =−15+7i= -15 + 7\mathrm{i} ±416−210i.\pm \sqrt{416 - 210\mathrm{i}}. Writing (a+bi)2=416−210i(a + b\mathrm{i})^2 = 416 - 210\mathrm{i} requires a2−b2=416a^2 - b^2 = 416 and ab=−105,ab = -105, which gives a+bi=±(21−5i).a + b\mathrm{i} = \pm(21 - 5\mathrm{i}). Hence v=6+2iv = 6 + 2\mathrm{i} or v=−36+12i,v = -36 + 12\mathrm{i}, with ∣v∣2=40|v|^2 = 40 or 1440.1440.
The smaller value is attained: z=1−i,z = 1 - \mathrm{i}, w=2+4iw = 2 + 4\mathrm{i} satisfies both equations with zw=6+2i.zw = 6 + 2\mathrm{i}. So the smallest possible value of ∣zw∣2|zw|^2 is 40.40.
Problema 7#7
Examen completo
Problema 9#9

El Problema 8 en otros años

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