Question

Cierta función

f

tiene las propiedades de que

f(3x) = 3f(x)

para todos los valores reales positivos de

x,

y de que

f(x) = 1 - |x - 2|

para

1 \le x \le 3.

Halla el menor

x

para el cual

f(x) = f(2001).

A certain function

f

has the properties that

f(3x) = 3f(x)

for all positive real values of

x,

and that

f(x) = 1 - |x - 2|

for

1 \le x \le 3.

Find the smallest

x

for which

f(x) = f(2001).

Respuesta

Respuesta: 429

Conceptos:ecuación funcional valor absoluto

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Usa

f(x) = 3^6 f\left(\frac{x}{3^6}\right)

para calcular

f(2001),

ya que

\frac{2001}{729}

está en

[1, 3]

.

Use

f(x) = 3^6 f\left(\frac{x}{3^6}\right)

to compute

f(2001),

since

\frac{2001}{729}

lies in

[1, 3]

Pista grande:

En

[3^k, 3^{k+1}]

la gráfica es una tienda de campaña que alcanza su pico a la altura

3^k,

así que busca en el primer intervalo cuyo pico alcance

f(2001)

.

On

[3^k, 3^{k+1}]

the graph is a tent peaking at height

3^k,

so look in the first interval whose peak reaches

f(2001)

Solución:

Aplicando

f(3x) = 3f(x)

seis veces se obtiene

f(2001) = 3^6 f\left(\frac{2001}{729}\right),

y

\frac{2001}{729}

está en

[1, 3],

así que

\begin{aligned} f(2001) &= 729\left(1 - \left|\tfrac{2001}{729} - 2\right|\right) \\ &= 729 - |2001 - 1458| \\ &= 729 - 543 = 186. \end{aligned}

Para

x \in [3^k, 3^{k+1}],

tenemos

f(x) = 3^k f\left(\frac{x}{3^k}\right)

= 3^k\left(1 - \left|\frac{x}{3^k} - 2\right|\right),

una tienda cuyo valor máximo es

3^k.

Para alcanzar

186

necesitamos

3^k \ge 186,

así que

k \ge 5,

y las soluciones más pequeñas están en

[243, 729],

donde

f(x) = 243 - |x - 486|.

Poniendo

243 - |x - 486| = 186

se obtiene

|x - 486| = 57,

así que

x = 429

o

x = 543.

El menor

x

es

429.

Applying

f(3x) = 3f(x)

six times gives

f(2001) = 3^6 f\left(\frac{2001}{729}\right),

and

\frac{2001}{729}

lies in

[1, 3],

so

\begin{aligned} f(2001) &= 729\left(1 - \left|\tfrac{2001}{729} - 2\right|\right) \\ &= 729 - |2001 - 1458| \\ &= 729 - 543 = 186. \end{aligned}

For

x \in [3^k, 3^{k+1}],

we have

f(x) = 3^k f\left(\frac{x}{3^k}\right)

= 3^k\left(1 - \left|\frac{x}{3^k} - 2\right|\right),

a tent whose maximum value is

3^k.

To achieve

186

we need

3^k \ge 186,

so

k \ge 5,

and the smallest solutions lie in

[243, 729],

where

f(x) = 243 - |x - 486|.

Setting

243 - |x - 486| = 186

gives

|x - 486| = 57,

so

x = 429

or

x = 543.

The smallest

x

is

429.

2001 AIME II Problema 8

Respuesta: 429

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años