Question

Cierta función $f$ tiene las propiedades de que $f(3x) = 3f(x)$ para todos los valores reales positivos de $x,$ y de que $f(x) = 1 - |x - 2|$ para $1 \le x \le 3.$ Halla el menor $x$ para el cual $f(x) = f(2001).$

A certain function $f$ has the properties that $f(3x) = 3f(x)$ for all positive real values of $x,$ and that $f(x) = 1 - |x - 2|$ for $1 \le x \le 3.$ Find the smallest $x$ for which $f(x) = f(2001).$

Respuesta

Solución:

Aplicando $f(3x) = 3f(x)$ seis veces se obtiene $f(2001) = 3^6 f\left(\frac{2001}{729}\right),$ y $\frac{2001}{729}$ está en $[1, 3],$ así que $\begin{aligned} f(2001) &= 729\left(1 - \left|\tfrac{2001}{729} - 2\right|\right) \\ &= 729 - |2001 - 1458| \\ &= 729 - 543 = 186. \end{aligned}$

Para $x \in [3^k, 3^{k+1}],$ tenemos $f(x) = 3^k f\left(\frac{x}{3^k}\right)$ $= 3^k\left(1 - \left|\frac{x}{3^k} - 2\right|\right),$ una tienda cuyo valor máximo es $3^k.$ Para alcanzar $186$ necesitamos $3^k \ge 186,$ así que $k \ge 5,$ y las soluciones más pequeñas están en $[243, 729],$ donde $f(x) = 243 - |x - 486|.$

Poniendo $243 - |x - 486| = 186$ se obtiene $|x - 486| = 57,$ así que $x = 429$ o $x = 543.$ El menor $x$ es $429.$

Applying $f(3x) = 3f(x)$ six times gives $f(2001) = 3^6 f\left(\frac{2001}{729}\right),$ and $\frac{2001}{729}$ lies in $[1, 3],$ so $\begin{aligned} f(2001) &= 729\left(1 - \left|\tfrac{2001}{729} - 2\right|\right) \\ &= 729 - |2001 - 1458| \\ &= 729 - 543 = 186. \end{aligned}$

For $x \in [3^k, 3^{k+1}],$ we have $f(x) = 3^k f\left(\frac{x}{3^k}\right)$ $= 3^k\left(1 - \left|\frac{x}{3^k} - 2\right|\right),$ a tent whose maximum value is $3^k.$ To achieve $186$ we need $3^k \ge 186,$ so $k \ge 5,$ and the smallest solutions lie in $[243, 729],$ where $f(x) = 243 - |x - 486|.$

Setting $243 - |x - 486| = 186$ gives $|x - 486| = 57,$ so $x = 429$ or $x = 543.$ The smallest $x$ is $429.$

2001 AIME II Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años