Question

Un hexágono inscrito en un círculo tiene longitudes de lado $22,$ $22,$ $20,$ $22,$ $22,$ y $20$ en ese orden. El radio del círculo puede escribirse como $p + \sqrt{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos. Halla $p + q.$

A hexagon that is inscribed in a circle has side lengths $22,$ $22,$ $20,$ $22,$ $22,$ and $20$ in that order. The radius of the circle can be written as $p + \sqrt{q},$ where $p$ and $q$ are positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Solución:

Sea $r$ el radio, y que cada cuerda de longitud $22$ subtienda un ángulo central $\alpha$ y cada cuerda de longitud $20$ subtienda $\beta.$ Los seis ángulos centrales llenan el círculo: $4\alpha + 2\beta = 360^\circ,$ así que $\frac{\beta}{2} = 90^\circ - \alpha$ y $\sin\frac{\beta}{2} = \cos\alpha.$

La mitad de una cuerda de $20$ da $\sin\frac{\beta}{2} = \frac{10}{r},$ y la ley de cosenos en el triángulo isósceles con lados $r$ y base $22$ da $22^2 = 2r^2(1 - \cos\alpha),$ así que $\cos\alpha = 1 - \frac{242}{r^2}.$ Igualando, $\begin{aligned} 1 - \frac{242}{r^2} &= \frac{10}{r} \\ &\quad\Longrightarrow\quad r^2 - 10r - 242 \\ &= 0, \end{aligned}$ así que $r = 5 + \sqrt{267}$ (tomando la raíz positiva).

Por lo tanto $p + q = 5 + 267 = 272.$

Let $r$ be the radius, and let each chord of length $22$ subtend central angle $\alpha$ and each chord of length $20$ subtend $\beta.$ The six central angles fill the circle: $4\alpha + 2\beta = 360^\circ,$ so $\frac{\beta}{2} = 90^\circ - \alpha$ and $\sin\frac{\beta}{2} = \cos\alpha.$

Half a $20$ -chord gives $\sin\frac{\beta}{2} = \frac{10}{r},$ and the law of cosines on the isosceles triangle with legs $r$ and base $22$ gives $22^2 = 2r^2(1 - \cos\alpha),$ so $\cos\alpha = 1 - \frac{242}{r^2}.$ Equating, $\begin{aligned} 1 - \frac{242}{r^2} &= \frac{10}{r} \\ &\quad\Longrightarrow\quad r^2 - 10r - 242 \\ &= 0, \end{aligned}$ so $r = 5 + \sqrt{267}$ (taking the positive root).

Therefore $p + q = 5 + 267 = 272.$

2013 AIME II Problema 8

Solución:

El Problema 8 en otros años