Question

Un hexágono inscrito en un círculo tiene longitudes de lado $22,$ $22,$ $20,$ $22,$ $22,$ y $20$ en ese orden. El radio del círculo puede escribirse como $p + \sqrt{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos. Halla $p + q.$

A hexagon that is inscribed in a circle has side lengths $22,$ $22,$ $20,$ $22,$ $22,$ and $20$ in that order. The radius of the circle can be written as $p + \sqrt{q},$ where $p$ and $q$ are positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Respuesta: 272

Conceptos:cuerda trigonometría ley de los cosenos cuadrática

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Si cada cuerda de $22$ subtiende un ángulo central $\alpha$ y cada cuerda de $20$ subtiende $\beta,$ entonces $4\alpha + 2\beta = 360^\circ,$ así que $\sin\frac{\beta}{2} = \cos\alpha$ .

If each $22$ -chord subtends central angle $\alpha$ and each $20$ -chord subtends $\beta,$ then $4\alpha + 2\beta = 360^\circ,$ so $\sin\frac{\beta}{2} = \cos\alpha$

Pista grande:

La ley de cosenos da $\cos\alpha = 1 - \frac{242}{r^2},$ mientras que $\sin\frac{\beta}{2} = \frac{10}{r};$ igualarlas produce una ecuación cuadrática en $r$ .

The law of cosines gives $\cos\alpha = 1 - \frac{242}{r^2},$ while $\sin\frac{\beta}{2} = \frac{10}{r};$ equating them yields a quadratic in $r$

Solución:

La mitad de una cuerda de $20$ da $\sin\frac{\beta}{2} = \frac{10}{r},$ y la ley de los cosenos en el triángulo isósceles de lados iguales $r$ y base $22$ da $22^2 = 2r^2(1 - \cos\alpha),$ así que $\cos\alpha = 1 - \frac{242}{r^2}.$ Al igualar, $\begin{aligned} 1 - \frac{242}{r^2} &= \frac{10}{r} \\ &\quad\Longrightarrow\quad r^2 - 10r - 242 \\ &= 0, \end{aligned}$ de donde $r = 5 + \sqrt{267}$ , tomando la raíz positiva.

Por tanto, $p + q = 5 + 267 = 272.$

Half a $20$ -chord gives $\sin\frac{\beta}{2} = \frac{10}{r},$ and the law of cosines on the isosceles triangle with legs $r$ and base $22$ gives $22^2 = 2r^2(1 - \cos\alpha),$ so $\cos\alpha = 1 - \frac{242}{r^2}.$ Equating, $\begin{aligned} 1 - \frac{242}{r^2} &= \frac{10}{r} \\ &\quad\Longrightarrow\quad r^2 - 10r - 242 \\ &= 0, \end{aligned}$ so $r = 5 + \sqrt{267}$ (taking the positive root).

Therefore $p + q = 5 + 267 = 272.$

2013 AIME II Problema 8

Respuesta: 272

Nivel de dificultad: 2560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años