Soluciones del 2013 AIME II | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Supongamos que la medición del tiempo durante el día se convierte al sistema métrico, de modo que cada día tiene $10$ horas métricas y cada hora métrica tiene $100$ minutos métricos. Se producirían entonces relojes digitales que marcarían $9{:}99$ justo antes de la medianoche, $0{:}00$ a la medianoche, $1{:}25$ a las antiguas $3{:}00$ AM y $7{:}50$ a las antiguas $6{:}00$ PM. Tras la conversión, una persona que quisiera despertarse en el equivalente de las antiguas $6{:}36$ AM ajustaría su nuevo despertador digital en $A{:}BC,$ donde $A,$ $B,$ y $C$ son dígitos. Halla $100A + 10B + C.$

Suppose that the measurement of time during the day is converted to the metric system so that each day has $10$ metric hours, and each metric hour has $100$ metric minutes. Digital clocks would then be produced that would read $9{:}99$ just before midnight, $0{:}00$ at midnight, $1{:}25$ at the former $3{:}00$ AM, and $7{:}50$ at the former $6{:}00$ PM. After the conversion, a person who wanted to wake up at the equivalent of the former $6{:}36$ AM would set his new digital alarm clock for $A{:}BC,$ where $A,$ $B,$ and $C$ are digits. Find $100A + 10B + C.$

Respuesta

Conceptos:reloj conversión de unidades razón y proporción

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

Un día ordinario tiene $60 \cdot 24 = 1440$ minutos, y las $6{:}36$ AM ocurren $6 \cdot 60 + 36 = 396$ minutos después de la medianoche. Un día métrico tiene $10 \cdot 100 = 1000$ minutos métricos, así que el tiempo métrico equivalente es $\frac{396}{1440} \cdot 1000 = 275$ minutos métricos después de la medianoche, que el nuevo reloj muestra como $2{:}75.$

Por lo tanto $100A + 10B + C = 275.$

An ordinary day has $60 \cdot 24 = 1440$ minutes, and $6{:}36$ AM comes $6 \cdot 60 + 36 = 396$ minutes after midnight. A metric day has $10 \cdot 100 = 1000$ metric minutes, so the equivalent metric time is $\frac{396}{1440} \cdot 1000 = 275$ metric minutes after midnight, which the new clock displays as $2{:}75.$

Therefore $100A + 10B + C = 275.$

2.

Los enteros positivos $a$ y $b$ satisfacen la condición $\log_2(\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000}))) = 0.$ Halla la suma de todos los valores posibles de $a + b.$

Positive integers $a$ and $b$ satisfy the condition $\log_2(\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000}))) = 0.$ Find the sum of all possible values of $a + b.$

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Conceptos:logaritmo exponente análisis por casos

Nivel de dificultad: 2030

Solución:

Trabajando de afuera hacia adentro, $\log_2(\cdot) = 0$ obliga a que $\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000})) = 1,$ de modo que $\log_{2^b}(2^{1000}) = 2^a,$ y por tanto $2^{1000} = (2^b)^{2^a} = 2^{b \cdot 2^a}.$ De aquí $b \cdot 2^a = 1000 = 2^3 \cdot 125.$

Como $a \ge 1$ y $b$ es un entero positivo, $2^a$ debe ser uno de $2,$ $4,$ $8,$ lo que da $(a, b) = (1, 500),$ $(2, 250),$ $(3, 125).$ La suma de todos los valores posibles de $a + b$ es $501 + 252 + 128 = 881.$

Working from the outside in, $\log_2(\cdot) = 0$ forces $\log_{2^a}(\log_{2^b}(2^{1000})) = 1,$ so $\log_{2^b}(2^{1000}) = 2^a,$ so $2^{1000} = (2^b)^{2^a} = 2^{b \cdot 2^a}.$ Hence $b \cdot 2^a = 1000 = 2^3 \cdot 125.$

Since $a \ge 1$ and $b$ is a positive integer, $2^a$ must be one of $2,$ $4,$ $8,$ giving $(a, b) = (1, 500),$ $(2, 250),$ $(3, 125).$ The sum of all possible values of $a + b$ is $501 + 252 + 128 = 881.$

3.

Una vela grande mide $119$ centímetros de alto. Está diseñada para consumirse más rápido cuando recién se enciende y más lento a medida que se acerca a su base. En concreto, la vela tarda $10$ segundos en consumir el primer centímetro desde arriba, $20$ segundos en consumir el segundo centímetro, y $10k$ segundos en consumir el $k$ -ésimo centímetro. Supón que la vela tarda $T$ segundos en consumirse por completo. Entonces $\frac{T}{2}$ segundos después de encenderla, la altura de la vela en centímetros será $h.$ Halla $10h.$

A large candle is $119$ centimeters tall. It is designed to burn down more quickly when it is first lit and more slowly as it approaches its bottom. Specifically, the candle takes $10$ seconds to burn down the first centimeter from the top, $20$ seconds to burn down the second centimeter, and $10k$ seconds to burn down the $k$ -th centimeter. Suppose it takes $T$ seconds for the candle to burn down completely. Then $\frac{T}{2}$ seconds after it is lit, the candle's height in centimeters will be $h.$ Find $10h.$

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Conceptos:sucesión aritmética sumatoria factorización

Nivel de dificultad: 1970

Solución:

Consumir los primeros $x$ centímetros toma $10(1 + 2 + \cdots + x) = 5x(x+1)$ segundos, así que $T = 5 \cdot 119 \cdot 120 = 71400$ y $\frac{T}{2} = 35700.$

Al plantear $5x(x+1) = 35700$ se obtiene $x(x+1) = 7140 = 84 \cdot 85,$ así que en el instante $\frac{T}{2}$ la vela ha consumido exactamente $84$ centímetros. Su altura es $h = 119 - 84 = 35,$ y $10h = 350.$

Burning the first $x$ centimeters takes $10(1 + 2 + \cdots + x) = 5x(x+1)$ seconds, so $T = 5 \cdot 119 \cdot 120 = 71400$ and $\frac{T}{2} = 35700.$

Setting $5x(x+1) = 35700$ gives $x(x+1) = 7140 = 84 \cdot 85,$ so at time $\frac{T}{2}$ the candle has burned down exactly $84$ centimeters. Its height is $h = 119 - 84 = 35,$ and $10h = 350.$

4.

En el plano cartesiano sean $A = (1, 0)$ y $B = (2, 2\sqrt{3}).$ Se construye el triángulo equilátero $ABC$ de modo que $C$ quede en el primer cuadrante. Sea $P = (x, y)$ el centro de $\triangle ABC.$ Entonces $x \cdot y$ puede escribirse como $\frac{p\sqrt{q}}{r},$ donde $p$ y $r$ son enteros positivos primos entre sí y $q$ es un entero no divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $p + q + r.$

In the Cartesian plane let $A = (1, 0)$ and $B = (2, 2\sqrt{3}).$ Equilateral triangle $ABC$ is constructed so that $C$ lies in the first quadrant. Let $P = (x, y)$ be the center of $\triangle ABC.$ Then $x \cdot y$ can be written as $\frac{p\sqrt{q}}{r},$ where $p$ and $r$ are relatively prime positive integers and $q$ is an integer that is not divisible by the square of any prime. Find $p + q + r.$

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Conceptos:geometría analítica triángulo equilátero baricentro vector

Nivel de dificultad: 2270

Solución:

El punto medio de $\overline{AB}$ es $M = \left(\frac{3}{2}, \sqrt{3}\right),$ y $AB = \sqrt{1 + 12} = \sqrt{13}.$ El tercer vértice está a distancia $\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{13}$ de $M$ en una dirección perpendicular a $\overrightarrow{AB} = (1, 2\sqrt{3});$ una perpendicular unitaria es $\frac{1}{\sqrt{13}}(2\sqrt{3}, -1).$ Tomando el signo que cae en el primer cuadrante, $\begin{aligned} C &= M + \frac{\sqrt{3}}{2}\,(2\sqrt{3}, -1) \\ &= \left(\frac{9}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{aligned}$ (la otra opción tiene coordenada $x$ negativa).

El centro de un triángulo equilátero es su baricentro, el promedio de los vértices: $\begin{aligned} P &= \small \left(\frac{1 + 2 + \frac{9}{2}}{3},\ \frac{0 + 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{3} \right) \\ &= \left(\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{6}\right). \end{aligned}$

Entonces $x \cdot y = \frac{5}{2} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{6} = \frac{25\sqrt{3}}{12},$ así que $p + q + r = 25 + 3 + 12 = 40.$

The midpoint of $\overline{AB}$ is $M = \left(\frac{3}{2}, \sqrt{3}\right),$ and $AB = \sqrt{1 + 12} = \sqrt{13}.$ The third vertex lies at distance $\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{13}$ from $M$ along a direction perpendicular to $\overrightarrow{AB} = (1, 2\sqrt{3});$ a unit perpendicular is $\frac{1}{\sqrt{13}}(2\sqrt{3}, -1).$ Taking the sign that lands in the first quadrant, $\begin{aligned} C &= M + \frac{\sqrt{3}}{2}\,(2\sqrt{3}, -1) \\ &= \left(\frac{9}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{aligned}$ (the other choice has negative $x$ -coordinate).

The center of an equilateral triangle is its centroid, the average of the vertices: $\begin{aligned} P &= \small \left(\frac{1 + 2 + \frac{9}{2}}{3},\ \frac{0 + 2\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}}{3} \right) \\ &= \left(\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{6}\right). \end{aligned}$

Then $x \cdot y = \frac{5}{2} \cdot \frac{5\sqrt{3}}{6} = \frac{25\sqrt{3}}{12},$ so $p + q + r = 25 + 3 + 12 = 40.$

5.

En el triángulo equilátero $\triangle ABC$ sean $D$ y $E$ los puntos que trisecan $\overline{BC}.$ Entonces $\sin(\angle DAE)$ puede expresarse en la forma $\frac{a\sqrt{b}}{c},$ donde $a$ y $c$ son enteros positivos primos entre sí, y $b$ es un entero no divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $a + b + c.$

In equilateral $\triangle ABC$ let points $D$ and $E$ trisect $\overline{BC}.$ Then $\sin(\angle DAE)$ can be expressed in the form $\frac{a\sqrt{b}}{c},$ where $a$ and $c$ are relatively prime positive integers, and $b$ is an integer that is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c.$

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Conceptos:ley de los cosenos área del triángulo triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 2330

Solución:

Escala de modo que la longitud del lado sea $6,$ con $BD = DE = EC = 2.$ En el triángulo $AEC,$ la ley de cosenos da $\begin{aligned} AE^2 &= 6^2 + 2^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cos 60^\circ \\ &= 28, \end{aligned}$ así que $AE = 2\sqrt{7},$ y $AD = 2\sqrt{7}$ por simetría.

Como $DE$ es un tercio de $BC$ y los triángulos $ADE$ y $ABC$ comparten el vértice $A,$ obtenemos $[ADE] = \frac{1}{3}[ABC]$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{36\sqrt{3}}{4}$ $= 3\sqrt{3}.$ Por otro lado $[ADE] = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE$ $\cdot \sin(\angle DAE)$ $= 14\sin(\angle DAE).$

Por lo tanto $\sin(\angle DAE) = \frac{3\sqrt{3}}{14},$ y $a + b + c = 3 + 3 + 14 = 20.$

Scale so the side length is $6,$ with $BD = DE = EC = 2.$ In triangle $AEC,$ the law of cosines gives $\begin{aligned} AE^2 &= 6^2 + 2^2 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cos 60^\circ \\ &= 28, \end{aligned}$ so $AE = 2\sqrt{7},$ and $AD = 2\sqrt{7}$ by symmetry.

Since $DE$ is one third of $BC$ and triangles $ADE$ and $ABC$ share the apex $A,$ we get $[ADE] = \frac{1}{3}[ABC]$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{36\sqrt{3}}{4}$ $= 3\sqrt{3}.$ On the other hand $[ADE] = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE$ $\cdot \sin(\angle DAE)$ $= 14\sin(\angle DAE).$

Therefore $\sin(\angle DAE) = \frac{3\sqrt{3}}{14},$ and $a + b + c = 3 + 3 + 14 = 20.$

6.

Halla el menor entero positivo $N$ tal que el conjunto de $1000$ enteros consecutivos que comienza en $1000 \cdot N$ no contenga ningún cuadrado de un entero.

Find the least positive integer $N$ such that the set of $1000$ consecutive integers beginning with $1000 \cdot N$ contains no square of an integer.

Respuesta

Conceptos:cuadrado perfecto desigualdad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2430

Solución:

El bloque $\{1000N, \ldots, 1000N + 999\}$ se salta todos los cuadrados exactamente cuando dos cuadrados consecutivos $x^2$ y $(x+1)^2$ lo sobrepasan, lo que requiere $(x+1)^2 - x^2 = 2x + 1 \gt 1000,$ así que $x \ge 500.$ En particular, todo bloque por debajo de $500^2 = 250000$ contiene un cuadrado, de modo que buscamos a partir de ahí.

Escribe $x = 500 + a$ con $a \ge 0.$ Entonces $x^2 = 1000(250 + a) + a^2,$ así que mientras $a^2 \lt 1000$ (es decir, $a \le 31$ ), el cuadrado $x^2$ cae en el bloque $250 + a;$ estos cubren los bloques $250$ hasta $281.$ El bloque $251 + a$ se salta exactamente cuando $\begin{aligned} (x+1)^2 &= 1000(250 + a) + a^2 \\ &\quad {}+ 2a + 1001 \\ &\ge 1000(252 + a), \end{aligned}$ es decir, $a^2 + 2a \ge 999.$ Para $a \le 30$ esto falla (así que $(x+1)^2$ cae en el bloque $251 + a$ ), y se cumple por primera vez en $a = 31,$ ya que $961 + 62 = 1023.$

En efecto, $531^2 = 281961$ y $532^2 = 283024$ quedan a ambos lados del bloque que empieza en $282000.$ El menor $N$ de este tipo es $251 + 31 = 282.$

The block $\{1000N, \ldots, 1000N + 999\}$ misses all squares exactly when some consecutive squares $x^2$ and $(x+1)^2$ jump over it, which requires $(x+1)^2 - x^2 = 2x + 1 \gt 1000,$ so $x \ge 500.$ In particular every block below $500^2 = 250000$ contains a square, so we search from there.

Write $x = 500 + a$ with $a \ge 0.$ Then $x^2 = 1000(250 + a) + a^2,$ so as long as $a^2 \lt 1000$ (that is, $a \le 31$ ), the square $x^2$ lies in block $250 + a;$ these cover blocks $250$ through $281.$ Block $251 + a$ is skipped exactly when $\begin{aligned} (x+1)^2 &= 1000(250 + a) + a^2 \\ &\quad {}+ 2a + 1001 \\ &\ge 1000(252 + a), \end{aligned}$ that is, $a^2 + 2a \ge 999.$ For $a \le 30$ this fails (so $(x+1)^2$ lands in block $251 + a$ ), and it first holds at $a = 31,$ since $961 + 62 = 1023.$

Indeed $531^2 = 281961$ and $532^2 = 283024$ straddle the block starting at $282000.$ The least such $N$ is $251 + 31 = 282.$

7.

A un grupo de empleados se le asigna la tarea de ordenar $1775$ archivos. Cada empleado ordena a un ritmo constante de $30$ archivos por hora. Al final de la primera hora, algunos de los empleados son reasignados a otra tarea; al final de la segunda hora, el mismo número de los empleados restantes también son reasignados a otra tarea, y una reasignación similar ocurre al final de la tercera hora. El grupo termina de ordenar en $3$ horas y $10$ minutos. Halla la cantidad de archivos ordenados durante la primera hora y media de ordenamiento.

A group of clerks is assigned the task of sorting $1775$ files. Each clerk sorts at a constant rate of $30$ files per hour. At the end of the first hour, some of the clerks are reassigned to another task; at the end of the second hour, the same number of the remaining clerks are also reassigned to another task, and a similar reassignment occurs at the end of the third hour. The group finishes the sorting in $3$ hours and $10$ minutes. Find the number of files sorted during the first one and a half hours of sorting.

Respuesta

Conceptos:tasa Ecuación diofántica aritmética modular

Nivel de dificultad: 2310

Solución:

Sean $n$ los empleados que comienzan y $k$ los reasignados al final de cada hora. En los $10$ minutos finales cada empleado restante ordena $5$ archivos, así que $\begin{aligned} &30n + 30(n - k) + 30(n - 2k) \\ &\quad {}+ 5(n - 3k) = 1775, \end{aligned}$ lo que se simplifica a $95n - 105k = 1775,$ o $19n - 21k = 355.$

Módulo $19$ esto se lee $-2k \equiv 13,$ así que $2k \equiv 6$ y $k \equiv 3 \pmod{19}.$ Tomando $k = 3$ se obtiene $n = \frac{355 + 63}{19} = 22;$ el siguiente candidato, $k = 22,$ da $n = 43,$ para el cual $n - 3k \lt 0.$ Así que $n = 22$ y $k = 3.$

En la primera hora $22$ empleados ordenan $30 \cdot 22 = 660$ archivos, y en la siguiente media hora $19$ empleados ordenan $15 \cdot 19 = 285,$ para un total de $660 + 285 = 945.$

Let $n$ clerks start and $k$ be reassigned at the end of each hour. In the final $10$ minutes each remaining clerk sorts $5$ files, so $\begin{aligned} &30n + 30(n - k) + 30(n - 2k) \\ &\quad {}+ 5(n - 3k) = 1775, \end{aligned}$ which simplifies to $95n - 105k = 1775,$ or $19n - 21k = 355.$

Modulo $19$ this reads $-2k \equiv 13,$ so $2k \equiv 6$ and $k \equiv 3 \pmod{19}.$ Taking $k = 3$ gives $n = \frac{355 + 63}{19} = 22;$ the next candidate, $k = 22,$ gives $n = 43,$ for which $n - 3k \lt 0.$ So $n = 22$ and $k = 3.$

In the first hour $22$ clerks sort $30 \cdot 22 = 660$ files, and in the next half hour $19$ clerks sort $15 \cdot 19 = 285,$ for a total of $660 + 285 = 945.$

8.

Un hexágono inscrito en un círculo tiene longitudes de lado $22,$ $22,$ $20,$ $22,$ $22,$ y $20$ en ese orden. El radio del círculo puede escribirse como $p + \sqrt{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos. Halla $p + q.$

A hexagon that is inscribed in a circle has side lengths $22,$ $22,$ $20,$ $22,$ $22,$ and $20$ in that order. The radius of the circle can be written as $p + \sqrt{q},$ where $p$ and $q$ are positive integers. Find $p + q.$

Respuesta

Conceptos:cuerda trigonometría ley de los cosenos cuadrática

Nivel de dificultad: 2560

Solución:

Sea $r$ el radio, y que cada cuerda de longitud $22$ subtienda un ángulo central $\alpha$ y cada cuerda de longitud $20$ subtienda $\beta.$ Los seis ángulos centrales llenan el círculo: $4\alpha + 2\beta = 360^\circ,$ así que $\frac{\beta}{2} = 90^\circ - \alpha$ y $\sin\frac{\beta}{2} = \cos\alpha.$

La mitad de una cuerda de $20$ da $\sin\frac{\beta}{2} = \frac{10}{r},$ y la ley de cosenos en el triángulo isósceles con lados $r$ y base $22$ da $22^2 = 2r^2(1 - \cos\alpha),$ así que $\cos\alpha = 1 - \frac{242}{r^2}.$ Igualando, $\begin{aligned} 1 - \frac{242}{r^2} &= \frac{10}{r} \\ &\quad\Longrightarrow\quad r^2 - 10r - 242 \\ &= 0, \end{aligned}$ así que $r = 5 + \sqrt{267}$ (tomando la raíz positiva).

Por lo tanto $p + q = 5 + 267 = 272.$

Let $r$ be the radius, and let each chord of length $22$ subtend central angle $\alpha$ and each chord of length $20$ subtend $\beta.$ The six central angles fill the circle: $4\alpha + 2\beta = 360^\circ,$ so $\frac{\beta}{2} = 90^\circ - \alpha$ and $\sin\frac{\beta}{2} = \cos\alpha.$

Half a $20$ -chord gives $\sin\frac{\beta}{2} = \frac{10}{r},$ and the law of cosines on the isosceles triangle with legs $r$ and base $22$ gives $22^2 = 2r^2(1 - \cos\alpha),$ so $\cos\alpha = 1 - \frac{242}{r^2}.$ Equating, $\begin{aligned} 1 - \frac{242}{r^2} &= \frac{10}{r} \\ &\quad\Longrightarrow\quad r^2 - 10r - 242 \\ &= 0, \end{aligned}$ so $r = 5 + \sqrt{267}$ (taking the positive root).

Therefore $p + q = 5 + 267 = 272.$

9.

Un tablero de $7 \times 1$ se cubre por completo con fichas de $m \times 1$ sin superposición; cada ficha puede cubrir cualquier cantidad de casillas consecutivas, y cada ficha queda completamente sobre el tablero. Cada ficha es roja, azul o verde. Sea $N$ el número de recubrimientos del tablero de $7 \times 1$ en los que los tres colores se usan al menos una vez. Por ejemplo, una ficha roja de $1 \times 1$ seguida de una ficha verde de $2 \times 1$ , una ficha verde de $1 \times 1$ , una ficha azul de $2 \times 1$ , y una ficha verde de $1 \times 1$ es un recubrimiento válido. Nota que si la ficha azul de $2 \times 1$ se reemplaza por dos fichas azules de $1 \times 1$ , esto resulta en un recubrimiento diferente. Halla el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

A $7 \times 1$ board is completely covered by $m \times 1$ tiles without overlap; each tile may cover any number of consecutive squares, and each tile lies completely on the board. Each tile is either red, blue, or green. Let $N$ be the number of tilings of the $7 \times 1$ board in which all three colors are used at least once. For example, a $1 \times 1$ red tile followed by a $2 \times 1$ green tile, a $1 \times 1$ green tile, a $2 \times 1$ blue tile, and a $1 \times 1$ green tile is a valid tiling. Note that if the $2 \times 1$ blue tile is replaced by two $1 \times 1$ blue tiles, this results in a different tiling. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:teselado inclusión-exclusión principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2610

Solución:

Primero cuenta los recubrimientos coloreados cuando hay $k$ colores disponibles. La ficha de la primera casilla puede colorearse de $k$ maneras, y cada una de las $6$ casillas restantes o bien extiende la ficha actual o bien inicia una ficha nueva en uno de los $k$ colores, lo que da $k + 1$ opciones por casilla. Así que hay $k(k+1)^6$ recubrimientos.

Con tres colores eso son $3 \cdot 4^6 = 12288$ recubrimientos. Por inclusión-exclusión sobre los colores no usados, el número que usa los tres colores es $\begin{aligned} N &= 3 \cdot 4^6 - 3 \cdot (2 \cdot 3^6) \\ &\quad {}+ 3 \cdot (1 \cdot 2^6) \\ &= 12288 - 4374 + 192 \\ &= 8106. \end{aligned}$

El residuo cuando $N$ se divide entre $1000$ es $106.$

First count colored tilings when $k$ colors are available. The first square's tile can be colored in $k$ ways, and each of the remaining $6$ squares either extends the current tile or starts a new tile in one of the $k$ colors, giving $k + 1$ choices per square. So there are $k(k+1)^6$ tilings.

With three colors that is $3 \cdot 4^6 = 12288$ tilings. By inclusion-exclusion over the unused colors, the number using all three colors is $\begin{aligned} N &= 3 \cdot 4^6 - 3 \cdot (2 \cdot 3^6) \\ &\quad {}+ 3 \cdot (1 \cdot 2^6) \\ &= 12288 - 4374 + 192 \\ &= 8106. \end{aligned}$

The remainder when $N$ is divided by $1000$ is $106.$

10.

Dado un círculo de radio $\sqrt{13},$ sea $A$ un punto a distancia $4 + \sqrt{13}$ del centro $O$ del círculo. Sea $B$ el punto del círculo más cercano al punto $A.$ Una recta que pasa por el punto $A$ corta al círculo en los puntos $K$ y $L.$ El área máxima posible de $\triangle BKL$ puede escribirse en la forma $\frac{a - b\sqrt{c}}{d},$ donde $a,$ $b,$ $c,$ y $d$ son enteros positivos, $a$ y $d$ son primos entre sí, y $c$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $a + b + c + d.$

Given a circle of radius $\sqrt{13},$ let $A$ be a point at a distance $4 + \sqrt{13}$ from the center $O$ of the circle. Let $B$ be the point on the circle nearest to point $A.$ A line passing through the point $A$ intersects the circle at points $K$ and $L.$ The maximum possible area for $\triangle BKL$ can be written in the form $\frac{a - b\sqrt{c}}{d},$ where $a,$ $b,$ $c,$ and $d$ are positive integers, $a$ and $d$ are relatively prime, and $c$ is not divisible by the square of any prime. Find $a + b + c + d.$

Respuesta

Conceptos:círculo área del triángulo optimización

Nivel de dificultad: 2840

Solución:

El punto más cercano $B$ está sobre el segmento $OA$ con $OB = \sqrt{13}$ y $AB = 4.$ Los triángulos $OKL$ y $BKL$ comparten la base $KL,$ y sus alturas son las distancias desde $O$ y $B$ a la recta que pasa por $A.$ Para cualquier punto $P$ sobre la recta $OA,$ esa distancia es $PA\sin\varphi,$ donde $\varphi$ es el ángulo entre las dos rectas, así que $\frac{[BKL]}{[OKL]} = \frac{AB}{AO} = \frac{4}{4 + \sqrt{13}}.$

Como $OK = OL = \sqrt{13},$ tenemos $[OKL] = \frac{13}{2}\sin(\angle KOL) \le \frac{13}{2},$ con igualdad cuando $\angle KOL = 90^\circ.$ Tal cuerda está a distancia $\sqrt{13/2}$ de $O,$ que es menor que $OA,$ así que una recta que pasa por $A$ puede alcanzarla.

El área máxima es $\begin{aligned} [BKL] &= \frac{13}{2} \cdot \frac{4}{4 + \sqrt{13}} \\ &= \frac{26}{4 + \sqrt{13}} = \frac{26(4 - \sqrt{13})}{3} \\ &= \frac{104 - 26\sqrt{13}}{3}, \end{aligned}$ así que $a + b + c + d$ $= 104 + 26 + 13 + 3$ $= 146.$

The nearest point $B$ lies on segment $OA$ with $OB = \sqrt{13}$ and $AB = 4.$ Triangles $OKL$ and $BKL$ share the base $KL,$ and their heights are the distances from $O$ and $B$ to the line through $A.$ For any point $P$ on line $OA,$ that distance is $PA\sin\varphi,$ where $\varphi$ is the angle between the two lines, so $\frac{[BKL]}{[OKL]} = \frac{AB}{AO} = \frac{4}{4 + \sqrt{13}}.$

Since $OK = OL = \sqrt{13},$ we have $[OKL] = \frac{13}{2}\sin(\angle KOL) \le \frac{13}{2},$ with equality when $\angle KOL = 90^\circ.$ Such a chord lies at distance $\sqrt{13/2}$ from $O,$ which is less than $OA,$ so a line through $A$ can achieve it.

The maximum area is $\begin{aligned} [BKL] &= \frac{13}{2} \cdot \frac{4}{4 + \sqrt{13}} \\ &= \frac{26}{4 + \sqrt{13}} = \frac{26(4 - \sqrt{13})}{3} \\ &= \frac{104 - 26\sqrt{13}}{3}, \end{aligned}$ so $a + b + c + d$ $= 104 + 26 + 13 + 3$ $= 146.$

11.

Sea $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\},$ y sea $N$ el número de funciones $f$ del conjunto $A$ al conjunto $A$ tales que $f(f(x))$ es una función constante. Halla el residuo cuando $N$ se divide entre $1000.$

Let $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\},$ and let $N$ be the number of functions $f$ from set $A$ to set $A$ such that $f(f(x))$ is a constant function. Find the remainder when $N$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:función combinaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2890

Solución:

Digamos que $f(f(x)) = a$ para todo $x,$ y sea $S = \{x : f(x) = a\}.$ Tomando cualquier $t \in S,$ obtenemos $a = f(f(t)) = f(a),$ así que $a \in S.$ Todo $x$ satisface $f(x) \in S$ (porque $f(f(x)) = a$ ), y si $x \notin S$ entonces $f(x) \ne a,$ así que $f$ mapea el complemento de $S$ en $S \setminus \{a\}.$ Recíprocamente, cualquier $f$ construida de esta manera funciona.

Si $|S| = k,$ elegimos la constante $a$ de $7$ maneras, los $k - 1$ elementos restantes de $S$ de $\binom{6}{k-1}$ maneras, y una imagen en $S \setminus \{a\}$ para cada uno de los otros $7 - k$ elementos de $(k-1)^{7-k}$ maneras. Por lo tanto $\begin{aligned} N &= \scriptsize 7\sum_{k=1}^{7} \binom{6}{k-1}(k-1)^{7-k} \\ &\scriptsize = 7\,(0 + 6 + 240 + 540 + 240 + 30 + 1) \\ &= 7 \cdot 1057 = 7399. \end{aligned}$

El residuo cuando $N$ se divide entre $1000$ es $399.$

Say $f(f(x)) = a$ for all $x,$ and let $S = \{x : f(x) = a\}.$ Picking any $t \in S,$ we get $a = f(f(t)) = f(a),$ so $a \in S.$ Every $x$ satisfies $f(x) \in S$ (because $f(f(x)) = a$ ), and if $x \notin S$ then $f(x) \ne a,$ so $f$ maps the complement of $S$ into $S \setminus \{a\}.$ Conversely, any $f$ built this way works.

If $|S| = k,$ we choose the constant $a$ in $7$ ways, the remaining $k - 1$ elements of $S$ in $\binom{6}{k-1}$ ways, and an image in $S \setminus \{a\}$ for each of the $7 - k$ other elements in $(k-1)^{7-k}$ ways. Hence $\begin{aligned} N &= \scriptsize 7\sum_{k=1}^{7} \binom{6}{k-1}(k-1)^{7-k} \\ &\scriptsize = 7\,(0 + 6 + 240 + 540 + 240 + 30 + 1) \\ &= 7 \cdot 1057 = 7399. \end{aligned}$

The remainder when $N$ is divided by $1000$ is $399.$

12.

Sea $S$ el conjunto de todos los polinomios de la forma $z^3 + az^2 + bz + c,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros. Halla el número de polinomios en $S$ tales que cada una de sus raíces $z$ satisface $|z| = 20$ o $|z| = 13.$

Let $S$ be the set of all polynomials of the form $z^3 + az^2 + bz + c,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are integers. Find the number of polynomials in $S$ such that each of its roots $z$ satisfies either $|z| = 20$ or $|z| = 13.$

Respuesta

Conceptos:polinomio número complejo análisis por casos

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Una cúbica con coeficientes reales tiene o bien tres raíces reales o bien una raíz real y un par conjugado. Los únicos números reales con módulo $20$ o $13$ son $\pm 20$ y $\pm 13,$ así que en el caso totalmente real las raíces forman un multiconjunto de tamaño $3$ de esos $4$ valores: $\binom{6}{3} = 20$ polinomios.

En caso contrario las raíces son $k \in \{\pm 20, \pm 13\}$ y un par conjugado $r \pm si$ con $s \ne 0$ y $r^2 + s^2 = 400$ o $169.$ Al desarrollar $(z - k)\bigl(z^2 - 2rz + (r^2 + s^2)\bigr)$ se ve que los coeficientes son $-(2r + k),$ $r^2 + s^2 + 2rk,$ y $-(r^2 + s^2)k,$ que son todos enteros exactamente cuando $2r$ es un entero. En el círculo de radio $20$ necesitamos $|r| \lt 20,$ lo que permite $2r \in \{-39, \ldots, 39\}:$ $79$ opciones; en el círculo de radio $13,$ $2r \in \{-25, \ldots, 25\}:$ $51$ opciones. Con $4$ opciones de $k,$ eso da $4(79 + 51) = 520$ polinomios, cada uno distinto ya que las raíces determinan el polinomio.

En total hay $20 + 520 = 540$ polinomios de este tipo.

A cubic with real coefficients has either three real roots or one real root and a conjugate pair. The only real numbers with modulus $20$ or $13$ are $\pm 20$ and $\pm 13,$ so in the all-real case the roots form a multiset of size $3$ from those $4$ values: $\binom{6}{3} = 20$ polynomials.

Otherwise the roots are $k \in \{\pm 20, \pm 13\}$ and a conjugate pair $r \pm si$ with $s \ne 0$ and $r^2 + s^2 = 400$ or $169.$ Expanding $(z - k)\bigl(z^2 - 2rz + (r^2 + s^2)\bigr)$ shows the coefficients are $-(2r + k),$ $r^2 + s^2 + 2rk,$ and $-(r^2 + s^2)k,$ which are all integers exactly when $2r$ is an integer. On the circle of radius $20$ we need $|r| \lt 20,$ allowing $2r \in \{-39, \ldots, 39\}:$ $79$ choices; on the circle of radius $13,$ $2r \in \{-25, \ldots, 25\}:$ $51$ choices. With $4$ choices of $k,$ that gives $4(79 + 51) = 520$ polynomials, each distinct since the roots determine the polynomial.

In total there are $20 + 520 = 540$ such polynomials.

13.

En $\triangle ABC,$ $AC = BC,$ y el punto $D$ está sobre $\overline{BC}$ de modo que $CD = 3 \cdot BD.$ Sea $E$ el punto medio de $\overline{AD}.$ Dado que $CE = \sqrt{7}$ y $BE = 3,$ el área de $\triangle ABC$ puede expresarse en la forma $m\sqrt{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $m + n.$

In $\triangle ABC,$ $AC = BC,$ and point $D$ is on $\overline{BC}$ so that $CD = 3 \cdot BD.$ Let $E$ be the midpoint of $\overline{AD}.$ Given that $CE = \sqrt{7}$ and $BE = 3,$ the area of $\triangle ABC$ can be expressed in the form $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. Find $m + n.$

Respuesta

Conceptos:ley de los cosenos mediana (geometría)sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 3060

Solución:

Sean $AB = 2x$ y $AC = BC = y,$ de modo que $BD = \frac{y}{4},$ $CD = \frac{3y}{4},$ y $\cos B = \frac{x}{y}$ (baja la altura desde $C$ al punto medio de $\overline{AB}$ ). La ley de cosenos en el triángulo $ABD$ da $\begin{aligned} AD^2 &= 4x^2 + \frac{y^2}{16} \\ &\quad {}- 2 \cdot 2x \cdot \frac{y}{4} \cdot \frac{x}{y} \\ &= 3x^2 + \frac{y^2}{16}. \end{aligned}$

Tanto $CE$ como $BE$ son medianas a $\overline{AD},$ en los triángulos $ACD$ y $ABD$ respectivamente. La fórmula de la mediana $4m^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2$ da $\begin{aligned} 28 &= 2y^2 + \frac{18y^2}{16} - AD^2 \\ &= \frac{49y^2}{16} - 3x^2, \end{aligned}$ $\begin{aligned} 36 &= 8x^2 + \frac{2y^2}{16} - AD^2 \\ &= 5x^2 + \frac{y^2}{16}. \end{aligned}$ De la segunda ecuación $\frac{y^2}{16} = 36 - 5x^2;$ sustituyendo en la primera se obtiene $49(36 - 5x^2) - 3x^2 = 28,$ así que $248x^2 = 1736,$ $x^2 = 7,$ y luego $y^2 = 16.$

La altura desde $C$ tiene longitud $\sqrt{y^2 - x^2} = 3,$ así que el área es $\frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 3 = 3\sqrt{7},$ y $m + n = 3 + 7 = 10.$

Let $AB = 2x$ and $AC = BC = y,$ so $BD = \frac{y}{4},$ $CD = \frac{3y}{4},$ and $\cos B = \frac{x}{y}$ (drop the altitude from $C$ to the midpoint of $\overline{AB}$ ). The law of cosines in triangle $ABD$ gives $\begin{aligned} AD^2 &= 4x^2 + \frac{y^2}{16} \\ &\quad {}- 2 \cdot 2x \cdot \frac{y}{4} \cdot \frac{x}{y} \\ &= 3x^2 + \frac{y^2}{16}. \end{aligned}$

Both $CE$ and $BE$ are medians to $\overline{AD},$ in triangles $ACD$ and $ABD$ respectively. The median formula $4m^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2$ gives $\begin{aligned} 28 &= 2y^2 + \frac{18y^2}{16} - AD^2 \\ &= \frac{49y^2}{16} - 3x^2, \end{aligned}$ $\begin{aligned} 36 &= 8x^2 + \frac{2y^2}{16} - AD^2 \\ &= 5x^2 + \frac{y^2}{16}. \end{aligned}$ From the second equation $\frac{y^2}{16} = 36 - 5x^2;$ substituting into the first gives $49(36 - 5x^2) - 3x^2 = 28,$ so $248x^2 = 1736,$ $x^2 = 7,$ and then $y^2 = 16.$

The altitude from $C$ has length $\sqrt{y^2 - x^2} = 3,$ so the area is $\frac{1}{2} \cdot 2x \cdot 3 = 3\sqrt{7},$ and $m + n = 3 + 7 = 10.$

14.

Para enteros positivos $n$ y $k,$ sea $f(n, k)$ el residuo cuando $n$ se divide entre $k,$ y para $n \gt 1$ sea $F(n) = \max_{1 \le k \le \frac{n}{2}} f(n, k).$ Halla el residuo cuando $\sum_{n = 20}^{100} F(n)$ se divide entre $1000.$

For positive integers $n$ and $k,$ let $f(n, k)$ be the remainder when $n$ is divided by $k,$ and for $n \gt 1$ let $F(n) = \max_{1 \le k \le \frac{n}{2}} f(n, k).$ Find the remainder when $\sum_{n = 20}^{100} F(n)$ is divided by $1000.$

Respuesta

Conceptos:aritmética modular acotación a casos límite sumatoria

Nivel de dificultad: 3270

Solución:

Para $k \le \frac{n}{2}$ el cociente $\lfloor n/k \rfloor$ es al menos $2,$ así que el residuo satisface $f(n, k) \le n - 2k$ al igual que $f(n, k) \le k - 1.$ Escribe $n = 3m + r$ con $r \in \{0, 1, 2\}.$ Al dividir entre $k = m + 1$ se obtiene cociente $2$ y residuo $m + r - 2,$ así que $F(n) \ge m + r - 2.$ Recíprocamente, para $k \ge m + 1,$ $f(n, k) \le n - 2k \le m + r - 2,$ y para $k$ más pequeño la cota $f(n, k) \le k - 1$ completa el trabajo: cuando $r = 2$ da a lo sumo $m$ para $k \le m + 1;$ cuando $r = 1$ da a lo sumo $m - 1$ para $k \le m;$ y cuando $r = 0$ da a lo sumo $m - 2$ para $k \le m - 1,$ mientras que $k = m$ divide $3m$ exactamente, dejando residuo $0.$ Por lo tanto $\begin{aligned} F(3m) &= m - 2, \\ F(3m + 1) &= m - 1, \\ F(3m + 2) &= m. \end{aligned}$

Agrupando $n = 20, \ldots, 100$ en tríos $3m - 1,$ $3m,$ $3m + 1$ para $m = 7, \ldots, 33$ (nota que $F(3m - 1) = F(3(m-1) + 2)$ $= m - 1$ ), cada trío aporta $(m - 1) + (m - 2) + (m - 1)$ $= 3m - 4,$ así que $\begin{aligned} \tiny \sum_{n=20}^{100} F(n) &= \sum_{m=7}^{33} (3m - 4) \\ &= 3 \cdot \frac{(7 + 33) \cdot 27}{2} - 4 \cdot 27 \\ &= 1620 - 108 = 1512. \end{aligned}$

El residuo pedido es $512.$

For $k \le \frac{n}{2}$ the quotient $\lfloor n/k \rfloor$ is at least $2,$ so the remainder satisfies $f(n, k) \le n - 2k$ as well as $f(n, k) \le k - 1.$ Write $n = 3m + r$ with $r \in \{0, 1, 2\}.$ Dividing by $k = m + 1$ gives quotient $2$ and remainder $m + r - 2,$ so $F(n) \ge m + r - 2.$ Conversely, for $k \ge m + 1,$ $f(n, k) \le n - 2k \le m + r - 2,$ and for smaller $k$ the bound $f(n, k) \le k - 1$ finishes the job: when $r = 2$ it gives at most $m$ for $k \le m + 1;$ when $r = 1$ it gives at most $m - 1$ for $k \le m;$ and when $r = 0$ it gives at most $m - 2$ for $k \le m - 1,$ while $k = m$ divides $3m$ exactly, leaving remainder $0.$ Hence $\begin{aligned} F(3m) &= m - 2, \\ F(3m + 1) &= m - 1, \\ F(3m + 2) &= m. \end{aligned}$

Grouping $n = 20, \ldots, 100$ as triples $3m - 1,$ $3m,$ $3m + 1$ for $m = 7, \ldots, 33$ (note $F(3m - 1) = F(3(m-1) + 2)$ $= m - 1$ ), each triple contributes $(m - 1) + (m - 2) + (m - 1)$ $= 3m - 4,$ so $\begin{aligned} \tiny \sum_{n=20}^{100} F(n) &= \sum_{m=7}^{33} (3m - 4) \\ &= 3 \cdot \frac{(7 + 33) \cdot 27}{2} - 4 \cdot 27 \\ &= 1620 - 108 = 1512. \end{aligned}$

The requested remainder is $512.$

15.

Sean $A, B, C$ los ángulos de un triángulo con $A$ y $C$ agudos y $B$ mayor que un ángulo recto, que satisfacen $\begin{aligned} &\cos^2 A + \cos^2 B \\ &\quad {}+ 2 \sin A \sin B \cos C = \frac{15}{8} \end{aligned}$ y $\begin{aligned} &\cos^2 B + \cos^2 C \\ &\quad {}+ 2 \sin B \sin C \cos A = \frac{14}{9}. \end{aligned}$ Existen enteros positivos $p,$ $q,$ $r,$ y $s$ para los cuales $\begin{aligned} &\cos^2 C + \cos^2 A \\ &\quad {}+ 2 \sin C \sin A \cos B \\ &= \frac{p - q\sqrt{r}}{s}, \end{aligned}$ donde $p + q$ y $s$ son primos entre sí y $r$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. Halla $p + q + r + s.$

Let $A, B, C$ be angles of a triangle with $A$ and $C$ acute and $B$ greater than a right angle satisfying $\begin{aligned} &\cos^2 A + \cos^2 B \\ &\quad {}+ 2 \sin A \sin B \cos C = \frac{15}{8} \end{aligned}$ and $\begin{aligned} &\cos^2 B + \cos^2 C \\ &\quad {}+ 2 \sin B \sin C \cos A = \frac{14}{9}. \end{aligned}$ There are positive integers $p,$ $q,$ $r,$ and $s$ for which $\begin{aligned} &\cos^2 C + \cos^2 A \\ &\quad {}+ 2 \sin C \sin A \cos B \\ &= \frac{p - q\sqrt{r}}{s}, \end{aligned}$ where $p + q$ and $s$ are relatively prime and $r$ is not divisible by the square of any prime. Find $p + q + r + s.$

Respuesta

Conceptos:ley de los senos ley de los cosenos identidad trigonométrica

Nivel de dificultad: 3370

Solución:

Reemplazando cada $\cos^2$ por $1 - \sin^2,$ la primera ecuación se convierte en $\sin^2 A + \sin^2 B$ $- 2 \sin A \sin B \cos C = \frac{1}{8}.$ Por la ley de senos, $\sin A = \frac{a}{2R}$ y así sucesivamente, así que el lado izquierdo es igual a $\begin{aligned} \frac{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}{4R^2} &= \frac{c^2}{4R^2} \\ &= \sin^2 C \end{aligned}$ por la ley de cosenos. De aquí $\sin^2 C = 2 - \frac{15}{8} = \frac{1}{8}.$ El mismo argumento convierte la segunda ecuación en $\sin^2 A = 2 - \frac{14}{9} = \frac{4}{9},$ y muestra que la expresión pedida es igual a $2 - \sin^2 B.$

Como $A$ y $C$ son agudos, $\cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}$ y $\cos C = \frac{\sqrt{14}}{4},$ con $\sin A = \frac{2}{3}$ y $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{4}.$ Entonces $\begin{aligned} \sin B &= \sin(A + C) \\ &= \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{2\sqrt{14} + \sqrt{10}}{12}, \end{aligned}$ así que $\sin^2 B = \frac{66 + 8\sqrt{35}}{144} = \frac{33 + 4\sqrt{35}}{72}.$

Por lo tanto $2 - \sin^2 B = \frac{111 - 4\sqrt{35}}{72},$ y $p + q + r + s$ $= 111 + 4 + 35 + 72$ $= 222.$

Replacing each $\cos^2$ by $1 - \sin^2,$ the first equation becomes $\sin^2 A + \sin^2 B$ $- 2 \sin A \sin B \cos C = \frac{1}{8}.$ By the law of sines, $\sin A = \frac{a}{2R}$ and so on, so the left side equals $\begin{aligned} \frac{a^2 + b^2 - 2ab\cos C}{4R^2} &= \frac{c^2}{4R^2} \\ &= \sin^2 C \end{aligned}$ by the law of cosines. Hence $\sin^2 C = 2 - \frac{15}{8} = \frac{1}{8}.$ The same argument turns the second equation into $\sin^2 A = 2 - \frac{14}{9} = \frac{4}{9},$ and shows the requested expression equals $2 - \sin^2 B.$

Since $A$ and $C$ are acute, $\cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}$ and $\cos C = \frac{\sqrt{14}}{4},$ with $\sin A = \frac{2}{3}$ and $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{4}.$ Then $\begin{aligned} \sin B &= \sin(A + C) \\ &= \frac{2}{3} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{2\sqrt{14} + \sqrt{10}}{12}, \end{aligned}$ so $\sin^2 B = \frac{66 + 8\sqrt{35}}{144} = \frac{33 + 4\sqrt{35}}{72}.$

Therefore $2 - \sin^2 B = \frac{111 - 4\sqrt{35}}{72},$ and $p + q + r + s$ $= 111 + 4 + 35 + 72$ $= 222.$