Question

A un grupo de empleados se le asigna la tarea de ordenar $1775$ archivos. Cada empleado ordena a un ritmo constante de $30$ archivos por hora. Al final de la primera hora, algunos de los empleados son reasignados a otra tarea; al final de la segunda hora, el mismo número de los empleados restantes también son reasignados a otra tarea, y una reasignación similar ocurre al final de la tercera hora. El grupo termina de ordenar en $3$ horas y $10$ minutos. Halla la cantidad de archivos ordenados durante la primera hora y media de ordenamiento.

A group of clerks is assigned the task of sorting $1775$ files. Each clerk sorts at a constant rate of $30$ files per hour. At the end of the first hour, some of the clerks are reassigned to another task; at the end of the second hour, the same number of the remaining clerks are also reassigned to another task, and a similar reassignment occurs at the end of the third hour. The group finishes the sorting in $3$ hours and $10$ minutes. Find the number of files sorted during the first one and a half hours of sorting.

Respuesta

Solución:

Sean $n$ los empleados que comienzan y $k$ los reasignados al final de cada hora. En los $10$ minutos finales cada empleado restante ordena $5$ archivos, así que $\begin{aligned} &30n + 30(n - k) + 30(n - 2k) \\ &\quad {}+ 5(n - 3k) = 1775, \end{aligned}$ lo que se simplifica a $95n - 105k = 1775,$ o $19n - 21k = 355.$

Módulo $19$ esto se lee $-2k \equiv 13,$ así que $2k \equiv 6$ y $k \equiv 3 \pmod{19}.$ Tomando $k = 3$ se obtiene $n = \frac{355 + 63}{19} = 22;$ el siguiente candidato, $k = 22,$ da $n = 43,$ para el cual $n - 3k \lt 0.$ Así que $n = 22$ y $k = 3.$

En la primera hora $22$ empleados ordenan $30 \cdot 22 = 660$ archivos, y en la siguiente media hora $19$ empleados ordenan $15 \cdot 19 = 285,$ para un total de $660 + 285 = 945.$

Let $n$ clerks start and $k$ be reassigned at the end of each hour. In the final $10$ minutes each remaining clerk sorts $5$ files, so $\begin{aligned} &30n + 30(n - k) + 30(n - 2k) \\ &\quad {}+ 5(n - 3k) = 1775, \end{aligned}$ which simplifies to $95n - 105k = 1775,$ or $19n - 21k = 355.$

Modulo $19$ this reads $-2k \equiv 13,$ so $2k \equiv 6$ and $k \equiv 3 \pmod{19}.$ Taking $k = 3$ gives $n = \frac{355 + 63}{19} = 22;$ the next candidate, $k = 22,$ gives $n = 43,$ for which $n - 3k \lt 0.$ So $n = 22$ and $k = 3.$

In the first hour $22$ clerks sort $30 \cdot 22 = 660$ files, and in the next half hour $19$ clerks sort $15 \cdot 19 = 285,$ for a total of $660 + 285 = 945.$

2013 AIME II Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años