Solución:

Las cuerdas de un hexágono regular unitario tienen longitudes $1,$ $\sqrt{3},$ y $2.$ Entre los $\binom{6}{3} = 20$ triángulos de un hexágono, $6$ tienen lados $1, 1, \sqrt{3}$ y $2$ son equiláteros con lado $\sqrt{3};$ los otros $12,$ con lados $1, \sqrt{3}, 2,$ son escalenos. Así cada base aporta $8$ triángulos isósceles, para $16$ en total.

En caso contrario, dos vértices están en una base ($2$ elecciones de esa base) y uno en la otra. Un vértice de la base superior a distancia horizontal $d$ de un vértice inferior está a distancia $\sqrt{d^2 + 4} \ge 2$ de él. Si el par inferior es adyacente (cuerda $1$): la mediatriz de una arista del hexágono no pasa por ningún vértice, y ningún lado inclinado puede ser igual a $1,$ así que no hay triángulos isósceles. Si el par tiene un vértice entre ellos (cuerda $\sqrt{3},$ $6$ pares): los vértices superiores sobre ese vértice intermedio y sobre el vértice opuesto son equidistantes del par, dando $6 \cdot 2 = 12.$ Si el par es diametralmente opuesto (cuerda $2,$ $3$ pares): ningún vértice está sobre la mediatriz, pero el vértice superior directamente sobre cualquiera de los extremos da un lado inclinado $\sqrt{0 + 4} = 2$ igual a la cuerda, dando $3 \cdot 2 = 6.$

El total es $16 + 2\,(12 + 6) = 52.$