Question

Halla la mayor parte real posible de $(75 + 117\mathrm{i})z + \frac{96 + 144\mathrm{i}}{z}$ donde $z$ es un número complejo con $|z| = 4.$ Aquí $\mathrm{i} = \sqrt{-1}.$

Find the largest possible real part of $(75 + 117\mathrm{i})z + \frac{96 + 144\mathrm{i}}{z}$ where $z$ is a complex number with $|z| = 4.$ Here $\mathrm{i} = \sqrt{-1}.$

Respuesta

Respuesta: 540

Conceptos:número complejo identidad trigonométrica optimización

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Escribe $z = 4(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)$ y toma la parte real de cada término

Write $z = 4(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta)$ and take the real part of each term

Pista grande:

Obtienes una expresión de la forma $a\cos\theta + b\sin\theta,$ cuyo máximo es $\sqrt{a^2 + b^2}$

You get an expression of the form $a\cos\theta + b\sin\theta,$ whose maximum is $\sqrt{a^2 + b^2}$

Solución:

Escribe $z = 4(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta),$ así que $\frac{1}{z} = \frac{1}{4}(\cos\theta - \mathrm{i}\sin\theta).$ La parte real de $(75 + 117\mathrm{i})z$ es $4(75\cos\theta - 117\sin\theta)$ $= 300\cos\theta - 468\sin\theta,$ y la parte real de $(96 + 144\mathrm{i}) \cdot \frac{1}{4}(\cos\theta - \mathrm{i}\sin\theta)$ es $24\cos\theta + 36\sin\theta.$

La parte real total es $324\cos\theta - 432\sin\theta,$ cuyo máximo sobre $\theta$ es $\begin{aligned} &\sqrt{324^2 + 432^2} \\ &= 108\sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= 108 \cdot 5 = 540. \end{aligned}$

Write $z = 4(\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta),$ so $\frac{1}{z} = \frac{1}{4}(\cos\theta - \mathrm{i}\sin\theta).$ The real part of $(75 + 117\mathrm{i})z$ is $4(75\cos\theta - 117\sin\theta)$ $= 300\cos\theta - 468\sin\theta,$ and the real part of $(96 + 144\mathrm{i}) \cdot \frac{1}{4}(\cos\theta - \mathrm{i}\sin\theta)$ is $24\cos\theta + 36\sin\theta.$

The total real part is $324\cos\theta - 432\sin\theta,$ whose maximum over $\theta$ is $\begin{aligned} &\sqrt{324^2 + 432^2} \\ &= 108\sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= 108 \cdot 5 = 540. \end{aligned}$

2024 AIME I Problema 7

Respuesta: 540

Nivel de dificultad: 2410

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años