Question

Sea $f(x) = \left(x^2 + 3x + 2\right)^{\cos(\pi x)}.$ Halla la suma de todos los enteros positivos $n$ para los que $\left|\sum_{k=1}^{n} \log_{10} f(k)\right| = 1.$

Let $f(x) = \left(x^2 + 3x + 2\right)^{\cos(\pi x)}.$ Find the sum of all positive integers $n$ for which $\left|\sum_{k=1}^{n} \log_{10} f(k)\right| = 1.$

Respuesta

Solución:

Como $\cos(\pi k) = (-1)^k$ y $k^2 + 3k + 2 = (k+1)(k+2),$ tenemos $f(k) = \left[(k+1)(k+2)\right]^{(-1)^k}.$ La suma de los logaritmos es el logaritmo del producto $\prod_{k=1}^n f(k),$ que es telescópico: los factores consecutivos $\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ y $(k+2)(k+3)$ dejan solo los términos de frontera.

Para $n$ par el producto es $\frac{3 \cdot 4 \cdots (n+2)}{2 \cdot 3 \cdots (n+1)} = \frac{n+2}{2},$ y para $n$ impar es $\frac{3 \cdot 4 \cdots (n+1)}{2 \cdot 3 \cdots (n+2)} = \frac{1}{2(n+2)}.$ El valor absoluto del logaritmo es igual a $1$ exactamente cuando el producto es $10$ o $\frac{1}{10}.$

Para $n$ par, $\frac{n+2}{2} = 10$ da $n = 18;$ para $n$ impar, $2(n+2) = 10$ da $n = 3.$ La suma pedida es $18 + 3 = 21.$

Since $\cos(\pi k) = (-1)^k$ and $k^2 + 3k + 2 = (k+1)(k+2),$ we have $f(k) = \left[(k+1)(k+2)\right]^{(-1)^k}.$ The sum of the logarithms is the log of the product $\prod_{k=1}^n f(k),$ which telescopes: consecutive factors $\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ and $(k+2)(k+3)$ leave only boundary terms.

For even $n$ the product is $\frac{3 \cdot 4 \cdots (n+2)}{2 \cdot 3 \cdots (n+1)} = \frac{n+2}{2},$ and for odd $n$ it is $\frac{3 \cdot 4 \cdots (n+1)}{2 \cdot 3 \cdots (n+2)} = \frac{1}{2(n+2)}.$ The absolute value of the log equals $1$ exactly when the product is $10$ or $\frac{1}{10}.$

For even $n,$ $\frac{n+2}{2} = 10$ gives $n = 18;$ for odd $n,$ $2(n+2) = 10$ gives $n = 3.$ The requested sum is $18 + 3 = 21.$

2014 AIME II Problema 7

Solución:

El Problema 7 en otros años