Question

La sucesión creciente $1,$ $3,$ $4,$ $9,$ $10,$ $12,$ $13,$ $\ldots$ consta de todos los enteros positivos que son potencias de $3$ o sumas de potencias distintas de $3.$ Halla el término número $100$ de esta sucesión.

The increasing sequence $1,$ $3,$ $4,$ $9,$ $10,$ $12,$ $13,$ $\ldots$ consists of all those positive integers which are powers of $3$ or sums of distinct powers of $3.$ Find the $100$ th term of this sequence.

Respuesta

Respuesta: 981

Conceptos:base numérica valor posicional

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Estos son precisamente los números cuyas cifras en base $3$ son todas $0$ o $1$

These are precisely the numbers whose base- $3$ digits are all $0$ or $1$

Pista grande:

Escribe el índice en base $2,$ y después interpreta las mismas cifras en base $3$

Write the index in base $2,$ then reinterpret those same digits in base $3$

Solución:

Una suma de potencias distintas de $3$ solo tiene $0$ y $1$ en base $3.$ Al aumentar estas cadenas, aparecen en el mismo orden que los números binarios con las mismas cifras. Como $100=1100100_2,$ el término positivo número $100$ es $\begin{aligned} 1100100_3 &=3^6+3^5+3^2\\ &=729+243+9\\ &=981. \end{aligned}$

A sum of distinct powers of $3$ has only $0$ ’s and $1$ ’s in base $3.$ As these strings increase, they occur in the same order as binary numerals with the same digit strings. Since $100=1100100_2,$ the $100$ th positive term is $\begin{aligned} 1100100_3 &=3^6+3^5+3^2\\ &=729+243+9\\ &=981. \end{aligned}$

1986 AIME Problema 7

Respuesta: 981

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 7 en otros años