Question

Sea $S$ la suma de los logaritmos en base $10$ de todos los divisores propios de $1000000.$ ¿Cuál es el entero más cercano a $S$ ?

Let $S$ be the sum of the base $10$ logarithms of all the proper divisors of $1000000.$ What is the integer nearest to $S?$

Respuesta

Respuesta: 141

Conceptos:conteo de factores logaritmo factorización en primos

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Factoriza $1000000$ y cuenta todos sus divisores positivos

Factor $1000000$ and count all of its positive divisors

Pista grande:

Empareja cada divisor $d$ con su divisor complementario $\frac{1000000}{d}$

Pair every divisor $d$ with its complementary divisor $\frac{1000000}{d}$

Solución:

Sea $N=1000000=2^6 5^6.$ Tiene $(6+1)(6+1)=49$ divisores positivos. El producto de todos ellos es $N^{\frac{49}{2}},$ así que la suma de sus logaritmos en base $10$ es $\frac{49}{2}\log_{10}N=\frac{49}{2}\cdot6=147.$ Los divisores propios incluyen $1$ , pero excluyen al propio $N.$ Al restar $\log_{10}N=6$ , se obtiene $S=141,$ que ya es un entero.

Let $N=1000000=2^6 5^6.$ It has $(6+1)(6+1)=49$ positive divisors. The product of all of them is $N^{\frac{49}{2}},$ so the sum of their base- $10$ logarithms is $\frac{49}{2}\log_{10}N=\frac{49}{2}\cdot6=147.$ The proper divisors include $1$ but exclude $N$ itself. Subtracting $\log_{10}N=6$ gives $S=141,$ already an integer.

1986 AIME Problema 8

Respuesta: 141

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años