Question

En una competencia de tiro, se colocan ocho platos de arcilla en dos columnas colgantes de tres platos cada una y una columna de dos platos. Un tirador debe romper todos los platos de acuerdo con las siguientes reglas:

$(1)$ El tirador elige primero una columna de la cual romperá un plato.

$(2)$ Después debe romper el plato restante más bajo de la columna elegida.

Si se siguen las reglas, ¿en cuántos órdenes distintos pueden romperse los ocho platos?

In a shooting match, eight clay targets are arranged in two hanging columns of three targets each and one column of two targets. A marksman is to break all the targets according to the following rules:

$(1)$ The marksman first chooses a column from which a target is to be broken.

$(2)$ The marksman must then break the lowest remaining target in the chosen column.

If the rules are followed, in how many different orders can the eight targets be broken?

Respuesta

Respuesta: 560

Conceptos:permutaciones de multiconjuntos arreglos con restricciones combinaciones

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Dentro de cada columna, el orden de abajo hacia arriba está fijado

Within each column, the bottom-to-top order is forced

Pista grande:

Codifica un orden solo mediante la secuencia de columnas elegidas, con multiplicidades $3,$ $3,$ y $2$

Encode an order only by the sequence of chosen columns, with multiplicities $3,$ $3,$ and $2$

Solución:

Una vez conocida la columna elegida en cada disparo, el plato de esa columna queda determinado. Así, cada orden válido corresponde a una disposición de tres símbolos de la primera columna, tres de la segunda y dos de la tercera. El número de tales disposiciones es $\frac{8!}{3!\,3!\,2!}=560.$

Once the chosen column is known at each shot, the target within that column is forced. Thus every valid order corresponds to an arrangement of three symbols from the first column, three from the second, and two from the third. The number of such arrangements is $\frac{8!}{3!\,3!\,2!}=560.$

1990 AIME Problema 8

Respuesta: 560

Nivel de dificultad: 1800

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años