Question

Los puntos $(0,0),$ $(a,11),$ y $(b,37)$ son los vértices de un triángulo equilátero. Halla el valor de $ab.$

The points $(0,0),$ $(a,11),$ and $(b,37)$ are the vertices of an equilateral triangle. Find the value of $ab.$

Respuesta

Respuesta: 315

Conceptos:geometría analítica vector triángulo equilátero

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

El vector $(b,37)$ es una rotación de $(a,11)$ por $60^\circ$ o por $-60^\circ$

The vector $(b,37)$ is a rotation of $(a,11)$ through $60^\circ$ or $-60^\circ$

Pista grande:

Usa primero la segunda coordenada de la rotación y luego calcula la primera

Use the second coordinate of the rotation first, then compute the first coordinate

Solución:

Para una rotación de $60^\circ,$ $37=\frac{\sqrt3}{2}a+\frac{11}{2},$ de donde $a=21\sqrt3.$ La primera coordenada es entonces $b=\frac a2-\frac{11\sqrt3}{2}=5\sqrt3.$ La orientación opuesta cambia ambos signos y deja invariante el producto. Por lo tanto, $ab=(21\sqrt3)(5\sqrt3)=315.$

For a $60^\circ$ rotation, $37=\frac{\sqrt3}{2}a+\frac{11}{2},$ so $a=21\sqrt3.$ The first coordinate is then $b=\frac a2-\frac{11\sqrt3}{2}=5\sqrt3.$ The opposite orientation changes both signs and leaves the product unchanged. Hence $ab=(21\sqrt3)(5\sqrt3)=315.$

1994 AIME Problema 8

Respuesta: 315

Nivel de dificultad: 1940

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años