Question

¿Cuál es el mayor factor primo de $2$ cifras del entero $n=\binom{200}{100}$ ?

What is the largest $2$ -digit prime factor of the integer $n=\binom{200}{100}?$

Respuesta

Respuesta: 61

Conceptos:Fórmula de Legendre primo factorización en primos

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Para un primo $p>50,$ compara el exponente de $p$ en $200!$ con el doble de su exponente en $100!$

For a prime $p>50,$ compare the exponent of $p$ in $200!$ with twice its exponent in $100!$

Pista grande:

Los primos de $67$ a $99$ se cancelan; los primos de $51$ a $66$ no

Primes from $67$ through $99$ cancel; primes from $51$ through $66$ do not

Solución:

Para un primo $p>50,$ tenemos $p^2>200,$ de modo que $\begin{aligned} v_p\left(\binom{200}{100}\right) &=\left\lfloor\frac{200}{p}\right\rfloor\\ &\quad-2\left\lfloor\frac{100}{p}\right\rfloor. \end{aligned}$ Si $67\leq p<100,$ esto es $2-2=0.$ Si $50<p\leq66,$ es $3-2=1.$ Por tanto, ningún primo mayor que $66$ divide al coeficiente binomial, mientras que todo primo entre $50$ y $66$ sí lo divide. El mayor de ellos es $61.$

For a prime $p>50,$ we have $p^2>200,$ so $\begin{aligned} v_p\left(\binom{200}{100}\right) &=\left\lfloor\frac{200}{p}\right\rfloor\\ &\quad-2\left\lfloor\frac{100}{p}\right\rfloor. \end{aligned}$ If $67\leq p<100,$ this is $2-2=0.$ If $50<p\leq66,$ it is $3-2=1.$ Hence no prime greater than $66$ divides the binomial coefficient, while every prime between $50$ and $66$ does. The largest such prime is $61.$

1983 AIME Problema 8

Respuesta: 61

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años