Question

La función $f,$ definida sobre el conjunto de pares ordenados de enteros positivos, satisface las siguientes propiedades:

$\begin{gathered}f(x,x)=x,\\f(x,y)=f(y,x),\\(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y).\end{gathered}$

Calcula $f(14,52).$

The function $f,$ defined on the set of ordered pairs of positive integers, satisfies the following properties:

$\begin{gathered}f(x,x)=x,\\f(x,y)=f(y,x),\\(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y).\end{gathered}$

Calculate $f(14,52).$

Respuesta

Respuesta: 364

Conceptos:ecuación funcional máximo común divisor mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Aplica la tercera propiedad a $(x,y-x)$ cuando $y\gt x$

Apply the third property to $(x,y-x)$ when $y\gt x$

Pista grande:

Compara la regla de resta resultante con la misma regla para $\operatorname{lcm}(x,y)$

Compare the resulting subtraction rule with the same rule for $\operatorname{lcm}(x,y)$

Solución:

Para $y\gt x,$ la tercera propiedad aplicada a $(x,y-x)$ da $f(x,y)=\frac{y}{y-x}f(x,y-x).$ El mínimo común múltiplo satisface la misma relación, porque $\gcd(x,y)=\gcd(x,y-x).$ Por tanto, el cociente $\frac{f(x,y)}{\operatorname{lcm}(x,y)}$ no cambia en cada paso de resta del algoritmo de Euclides. En la diagonal es igual a $\frac{f(g,g)}{g}=1,$ así que $f(x,y)=\operatorname{lcm}(x,y).$ Por tanto, $\begin{aligned}f(14,52)&=\frac{14\cdot52}{\gcd(14,52)}\\&=364.\end{aligned}$

For $y\gt x,$ the third property applied to $(x,y-x)$ gives $f(x,y)=\frac{y}{y-x}f(x,y-x).$ The least common multiple obeys the identical relation, because $\gcd(x,y)=\gcd(x,y-x).$ Hence the quotient $\frac{f(x,y)}{\operatorname{lcm}(x,y)}$ is unchanged by each subtraction step of the Euclidean algorithm. On the diagonal it equals $\frac{f(g,g)}{g}=1,$ so $f(x,y)=\operatorname{lcm}(x,y).$ Therefore $\begin{aligned}f(14,52)&=\frac{14\cdot52}{\gcd(14,52)}\\&=364.\end{aligned}$

1988 AIME Problema 8

Respuesta: 364

Nivel de dificultad: 2270

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años