Question

¿Cuál es el mayor entero positivo $n$ para el cual existe un único entero $k$ tal que $\frac8{15}<\frac{n}{n+k}<\frac7{13}$ ?

What is the largest positive integer $n$ for which there is a unique integer $k$ such that $\frac8{15}<\frac{n}{n+k}<\frac7{13}?$

Respuesta

Respuesta: 112

Conceptos:desigualdad fracción acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Despeja $k$ en ambas desigualdades

Solve both inequalities for $k$

Pista grande:

Estudia los enteros del intervalo abierto $(\frac{6n}{7},\frac{7n}{8})$

Study the integers in the open interval $(\frac{6n}{7},\frac{7n}{8})$

Solución:

Las desigualdades son equivalentes a $\frac{6n}{7}<k<\frac{7n}{8}.$ Este intervalo tiene longitud $\frac{n}{56}.$ Para $n=112$ es $(96,98),$ que contiene únicamente a $97.$ Si $n>112$ , su longitud supera $2,$ así que contiene al menos dos enteros. Por tanto, el mayor valor posible de $n$ es $112.$

The inequalities are equivalent to $\frac{6n}{7}<k<\frac{7n}{8}.$ This interval has length $\frac{n}{56}.$ At $n=112$ it is $(96,98),$ containing only $97.$ For $n>112$ its length exceeds $2,$ so it contains at least two integers. Thus the largest possible $n$ is $112.$

1987 AIME Problema 8

Respuesta: 112

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años