Question

Sea $S$ un conjunto de seis elementos. ¿De cuántas maneras distintas se pueden elegir dos subconjuntos no necesariamente distintos de $S$ de modo que su unión sea $S$ ? El orden de elección no importa; por ejemplo, el par de subconjuntos $\{a,c\},$ $\{b,c,d,e,f\}$ representa la misma elección que el par $\{b,c,d,e,f\},$ $\{a,c\}.$

Let $S$ be a set with six elements. In how many different ways can one select two not necessarily distinct subsets of $S$ so that the union of the two subsets is $S?$ The order of selection does not matter; for example, the pair of subsets $\{a,c\},$ $\{b,c,d,e,f\}$ represents the same selection as the pair $\{b,c,d,e,f\},$ $\{a,c\}.$

Respuesta

Respuesta: 365

Conceptos:Lema de Burnside principio de multiplicación subconjuntos

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Para un par ordenado, cada elemento puede pertenecer solo al primer subconjunto, solo al segundo o a ambos

For an ordered pair, each element can lie in the first subset only, the second only, or both

Pista grande:

Al intercambiar los dos subconjuntos, identifica el único par ordenado que permanece fijo

When the two subsets are swapped, identify the one ordered pair that remains fixed

Solución:

Para un par ordenado $(A,B)$ con $A\cup B=S,$ cada elemento tiene tres pertenencias posibles: solo a $A$ , solo a $B$ o a ambos. Esto da $3^6=729$ pares ordenados. Intercambiar $A$ y $B$ deja fijo únicamente el par $A=B=S.$ Por lo tanto, el número de pares no ordenados es $\frac{729+1}{2}=365.$

For an ordered pair $(A,B)$ with $A\cup B=S,$ each element has three possible memberships: $A$ only, $B$ only, or both. This gives $3^6=729$ ordered pairs. Swapping $A$ and $B$ fixes only the pair $A=B=S.$ Therefore the number of unordered pairs is $\frac{729+1}{2}=365.$

1993 AIME Problema 8

Respuesta: 365

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años