Question

La suma de los siguientes siete números es exactamente $19:$ $\begin{aligned} a_1&=2.56,\\ a_2&=2.61,\\ a_3&=2.65,\\ a_4&=2.71,\\ a_5&=2.79,\\ a_6&=2.82,\\ a_7&=2.86. \end{aligned}$ Se desea sustituir cada $a_i$ por una aproximación entera $A_i,$ con $1\leq i\leq7,$ de modo que la suma de los $A_i$ también sea $19$ y que $M,$ el máximo de los «errores» $|A_i-a_i|,$ sea lo menor posible. Para este valor mínimo de $M,$ ¿cuánto vale $100M$ ?

The sum of the following seven numbers is exactly $19:$ $\begin{aligned} a_1&=2.56,\\ a_2&=2.61,\\ a_3&=2.65,\\ a_4&=2.71,\\ a_5&=2.79,\\ a_6&=2.82,\\ a_7&=2.86. \end{aligned}$ It is desired to replace each $a_i$ by an integer approximation $A_i,$ $1\leq i\leq7,$ so that the sum of the $A_i$ ’s is also $19$ and so that $M,$ the maximum of the “errors” $|A_i-a_i|,$ is as small as possible. For this minimum $M,$ what is $100M?$

Respuesta

Respuesta: 61

Conceptos:estimación optimización argumento extremal

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Partiendo de siete $3,$ la suma entera debe reducirse en $2$

Starting from seven $3$ ’s, the integer sum must be reduced by $2$

Pista grande:

Para minimizar el mayor error, redondea los dos $a_i$ más pequeños hacia abajo a $2$

To minimize the worst error, round the two smallest $a_i$ ’s down to $2$

Solución:

Elige $A_1=A_2=2$ y $A_3=\cdots=A_7=3.$ La suma es $19,$ y el mayor error es $|A_2-a_2|=0.61.$

Si $M\lt0.61,$ entonces $A_2,\ldots,A_7$ deben ser todos iguales a $3,$ y $A_1$ solo puede ser $2$ o $3.$ Por tanto, su suma sería al menos $20,$ una contradicción. Así, el mínimo es $M=0.61,$ y $100M=61.$

Choose $A_1=A_2=2$ and $A_3=\cdots=A_7=3.$ The sum is $19,$ and the largest error is $|A_2-a_2|=0.61.$

If $M\lt0.61,$ then $A_2,\ldots,A_7$ must all equal $3,$ and $A_1$ can only be $2$ or $3.$ Their sum would therefore be at least $20,$ a contradiction. Thus the minimum is $M=0.61,$ and $100M=61.$

1985 AIME Problema 8

Respuesta: 61

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años