Question

¿Para cuántos pares ordenados de enteros positivos $(x,y),$ con $y<x\leq100,$ son enteros tanto $\frac{x}{y}$ como $\frac{x+1}{y+1}$ ?

For how many ordered pairs of positive integers $(x,y),$ with $y<x\leq100,$ are both $\frac{x}{y}$ and $\frac{x+1}{y+1}$ integers?

Respuesta

Respuesta: 85

Conceptos:divisibilidad funciones piso y techo conteo de pares

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Escribe $x=ay$ y reduce $x+1$ módulo $y+1$

Write $x=ay$ and reduce $x+1$ modulo $y+1$

Pista grande:

El cociente $a$ debe tener la forma $1+t(y+1)$ ; cuenta los valores positivos posibles de $t$

The quotient $a$ must have the form $1+t(y+1)$ ; count the possible positive values of $t$

Solución:

Escribe $x=ay.$ Módulo $y+1,$ tenemos $y\equiv-1,$ así que $x+1$ es divisible por $y+1$ exactamente cuando $a\equiv1\pmod {y+1}.$ Como $x>y,$ escribe $a=1+t(y+1)$ con $t\geq1.$ La cota $x\leq100$ se convierte en $t\leq\left\lfloor\frac{100-y}{y(y+1)}\right\rfloor.$ Solo contribuyen $1\leq y\leq9,$ lo que da $\begin{aligned}49+16+8&+4+3\\&+2+1+1+1\\&=85.\end{aligned}$

Write $x=ay.$ Modulo $y+1,$ we have $y\equiv-1,$ so $x+1$ is divisible by $y+1$ exactly when $a\equiv1\pmod {y+1}.$ Since $x>y,$ write $a=1+t(y+1)$ with $t\geq1.$ The bound $x\leq100$ becomes $t\leq\left\lfloor\frac{100-y}{y(y+1)}\right\rfloor.$ Only $1\leq y\leq9$ contribute, giving $\begin{aligned}49+16+8&+4+3\\&+2+1+1+1\\&=85.\end{aligned}$

1995 AIME Problema 8

Respuesta: 85

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años