Question

Supón que $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_7$ son números reales tales que

$\begin{aligned}x_1+4x_2+9x_3&\\+16x_4+25x_5&\\+36x_6+49x_7&=1,\\4x_1+9x_2+16x_3&\\+25x_4+36x_5&\\+49x_6+64x_7&=12,\\9x_1+16x_2+25x_3&\\+36x_4+49x_5&\\+64x_6+81x_7&=123.\end{aligned}$

Halla el valor de

$\begin{aligned}16x_1+25x_2+36x_3&\\+49x_4+64x_5&\\+81x_6+100x_7.&\end{aligned}$

Assume that $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_7$ are real numbers such that

$\begin{aligned}x_1+4x_2+9x_3&\\+16x_4+25x_5&\\+36x_6+49x_7&=1,\\4x_1+9x_2+16x_3&\\+25x_4+36x_5&\\+49x_6+64x_7&=12,\\9x_1+16x_2+25x_3&\\+36x_4+49x_5&\\+64x_6+81x_7&=123.\end{aligned}$

Find the value of

$\begin{aligned}16x_1+25x_2+36x_3&\\+49x_4+64x_5&\\+81x_6+100x_7.&\end{aligned}$

Respuesta

Respuesta: 334

Conceptos:reconocimiento de patrones polinomio sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Sea $S(t)=\sum_{i=1}^7(i+t)^2x_i$

Let $S(t)=\sum_{i=1}^7(i+t)^2x_i$

Pista grande:

Como $S(t)$ es cuadrática en $t,$ sus segundas diferencias finitas son constantes

Because $S(t)$ is quadratic in $t,$ its second finite differences are constant

Solución:

Define $S(t)=\sum_{i=1}^7(i+t)^2x_i.$ Este es un polinomio cuadrático en $t,$ y las ecuaciones dicen que $S(0)=1,$ $S(1)=12,$ y $S(2)=123.$ Sus dos primeras diferencias son $11$ y $111,$ así que la segunda diferencia constante es $100.$ Por lo tanto, la siguiente primera diferencia es $211,$ lo que da $S(3)=123+211=334.$

Define $S(t)=\sum_{i=1}^7(i+t)^2x_i.$ This is a quadratic polynomial in $t,$ and the equations say $S(0)=1,$ $S(1)=12,$ and $S(2)=123.$ Its first two differences are $11$ and $111,$ so the constant second difference is $100.$ The next first difference is therefore $211,$ giving $S(3)=123+211=334.$

1989 AIME Problema 8

Respuesta: 334

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 8 en otros años