Question

设 $x_1$ 、 $x_2$ 、 $\ldots$ 和 $x_7$ 为满足下列条件的实数：

$\begin{aligned}x_1+4x_2+9x_3&\\+16x_4+25x_5&\\+36x_6+49x_7&=1,\\4x_1+9x_2+16x_3&\\+25x_4+36x_5&\\+49x_6+64x_7&=12,\\9x_1+16x_2+25x_3&\\+36x_4+49x_5&\\+64x_6+81x_7&=123\end{aligned}\text{。}$

求下式的值：

$\begin{aligned}16x_1+25x_2+36x_3&\\+49x_4+64x_5&\\+81x_6+100x_7.&\end{aligned}$

Assume that $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_7$ are real numbers such that

$\begin{aligned}x_1+4x_2+9x_3&\\+16x_4+25x_5&\\+36x_6+49x_7&=1,\\4x_1+9x_2+16x_3&\\+25x_4+36x_5&\\+49x_6+64x_7&=12,\\9x_1+16x_2+25x_3&\\+36x_4+49x_5&\\+64x_6+81x_7&=123.\end{aligned}$

Find the value of

$\begin{aligned}16x_1+25x_2+36x_3&\\+49x_4+64x_5&\\+81x_6+100x_7.&\end{aligned}$

答案

答案：334

知识点：找规律多项式方程组

难度评级：2230

小提示：

令 $S(t)=\sum_{i=1}^7(i+t)^2x_i$

Let $S(t)=\sum_{i=1}^7(i+t)^2x_i$

大提示：

$S(t)$ 是关于 $t$ 的二次式，所以它的二阶有限差分为常数

Because $S(t)$ is quadratic in $t,$ its second finite differences are constant

解答：

定义 $S(t)=\sum_{i=1}^7(i+t)^2x_i$ 。这是关于 $t$ 的二次多项式，而题中方程给出 $S(0)=1$ 、 $S(1)=12$ 和 $S(2)=123$ 。前两个一阶差分为 $11$ 和 $111$ ，所以恒定的二阶差分为 $100$ 。因而下一个一阶差分是 $211$ ，得到 $S(3)=123+211=334$ 。

Define $S(t)=\sum_{i=1}^7(i+t)^2x_i.$ This is a quadratic polynomial in $t,$ and the equations say $S(0)=1,$ $S(1)=12,$ and $S(2)=123.$ Its first two differences are $11$ and $111,$ so the constant second difference is $100.$ The next first difference is therefore $211,$ giving $S(3)=123+211=334.$

1989 AIME 第 8 题

答案：334

难度评级：2230

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题