Question

复数 $z$ 和 $w$ 满足方程组 $z + \frac{20\mathrm{i}}{w} = 5 + \mathrm{i}\text{，}$ $w + \frac{12\mathrm{i}}{z} = -4 + 10\mathrm{i}\text{。}$

求 $|zw|^2$ 的最小可能值。

The complex numbers $z$ and $w$ satisfy the system $z + \frac{20\mathrm{i}}{w} = 5 + \mathrm{i},$ $w + \frac{12\mathrm{i}}{z} = -4 + 10\mathrm{i}.$

Find the smallest possible value of $|zw|^2.$

答案

答案：40

知识点：复数方程组二次方程

难度评级：2840

小提示：

将两个方程相乘：交叉项会变成常数 $12\mathrm{i}$ 和 $20\mathrm{i}$ ，剩下一个只含未知量 $zw$ 的方程。

Multiply the two equations: the cross terms become the constants $12\mathrm{i}$ and $20\mathrm{i},$ leaving an equation in the single unknown $zw$

大提示：

关于 $zw$ 的二次方程需要 $\sqrt{416 - 210\mathrm{i}}$ ；令 $(a + b\mathrm{i})^2 = 416 - 210\mathrm{i}$ ，用整数 $a$ 和 $b$ 求它。

The quadratic in $zw$ needs $\sqrt{416 - 210\mathrm{i}};$ find it by setting $(a + b\mathrm{i})^2 = 416 - 210\mathrm{i}$ with integers $a$ and $b$

解答：

将两个方程相乘，得到 $\begin{aligned} &zw + 12\mathrm{i} + 20\mathrm{i} \\ &\quad {}- \frac{240}{zw} = (5 + \mathrm{i})(-4 + 10\mathrm{i}) \\ &\quad = -30 + 46\mathrm{i} \end{aligned}\text{，}$ 所以 $zw - \frac{240}{zw} = -30 + 14\mathrm{i}$ 。令 $v = zw$ ，得到 $v^2 + (30 - 14\mathrm{i})v - 240 = 0$ 。

由求根公式， $v = -15 + 7\mathrm{i}$ $\pm \sqrt{(15 - 7\mathrm{i})^2 + 240}$ $= -15 + 7\mathrm{i}$ $\pm \sqrt{416 - 210\mathrm{i}}$ 。设 $(a + b\mathrm{i})^2 = 416 - 210\mathrm{i}$ ，则需要 $a^2 - b^2 = 416$ 且 $ab = -105$ ，从而 $a + b\mathrm{i} = \pm(21 - 5\mathrm{i})$ 。因此 $v = 6 + 2\mathrm{i}$ 或 $v = -36 + 12\mathrm{i}$ ，对应 $|v|^2 = 40$ 或 $1440$ 。

较小值可以取到： $z = 1 - \mathrm{i}$ ， $w = 2 + 4\mathrm{i}$ 同时满足两个方程，且 $zw = 6 + 2\mathrm{i}$ 。所以 $|zw|^2$ 的最小可能值为 $40$ 。

Multiplying the two equations gives $\begin{aligned} &zw + 12\mathrm{i} + 20\mathrm{i} \\ &\quad {}- \frac{240}{zw} = (5 + \mathrm{i})(-4 + 10\mathrm{i}) \\ &\quad = -30 + 46\mathrm{i}, \end{aligned}$ so $zw - \frac{240}{zw} = -30 + 14\mathrm{i}.$ Setting $v = zw$ yields $v^2 + (30 - 14\mathrm{i})v - 240 = 0.$

By the quadratic formula, $v = -15 + 7\mathrm{i}$ $\pm \sqrt{(15 - 7\mathrm{i})^2 + 240}$ $= -15 + 7\mathrm{i}$ $\pm \sqrt{416 - 210\mathrm{i}}.$ Writing $(a + b\mathrm{i})^2 = 416 - 210\mathrm{i}$ requires $a^2 - b^2 = 416$ and $ab = -105,$ which gives $a + b\mathrm{i} = \pm(21 - 5\mathrm{i}).$ Hence $v = 6 + 2\mathrm{i}$ or $v = -36 + 12\mathrm{i},$ with $|v|^2 = 40$ or $1440.$

The smaller value is attained: $z = 1 - \mathrm{i},$ $w = 2 + 4\mathrm{i}$ satisfies both equations with $zw = 6 + 2\mathrm{i}.$ So the smallest possible value of $|zw|^2$ is $40.$

2012 AIME II 第 8 题

答案：40

难度评级：2840

小提示：

大提示：

解答：

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