Question

有多少个实数 $a$ 能使二次方程 $x^2+ax+6a=0$ 关于 $x$ 的所有根都是整数？

For how many real numbers $a$ does the quadratic equation $x^2+ax+6a=0$ have only integer roots for $x?$

答案

答案：10

知识点：丢番图方程韦达定理因式分解

难度评级：1860

小提示：

设两个整数根为 $r$ 和 $s$ ，用韦达定理消去 $a$ 。

Let the two integer roots be $r$ and $s$ , and eliminate $a$ using Vieta’s formulas

大提示：

得到 $rs=-6(r+s)$ 后，将它配成一个乘积。

Complete a product after obtaining $rs=-6(r+s)$

解答：

设整数根为 $r$ 和 $s$ 。由韦达定理， $r+s=-a$ 且 $rs=6a$ ，所以 $rs=-6(r+s)$ 。因此 $(r+6)(s+6)=36\text{。}$ 反过来， $uv=36$ 的每个有序整数分解都会给出整数根 $r=u-6$ 、 $s=v-6$ ，以及 $a=12-u-v$ 。 $36$ 的无序正因数对之和为 $37$ 、 $20$ 、 $15$ 、 $13$ 、 $12$ ，相应的负因数对之和则分别为这些数的相反数。这十个和互不相同，因此给出 $a$ 的 $10$ 个不同取值。

Let the integer roots be $r$ and $s.$ Vieta’s formulas give $r+s=-a$ and $rs=6a,$ so $rs=-6(r+s).$ Therefore $(r+6)(s+6)=36.$ Conversely, every ordered integer factorization $uv=36$ gives integer roots $r=u-6,$ $s=v-6,$ and $a=12-u-v.$ Unordered positive factor pairs of $36$ have sums $37,$ $20,$ $15,$ $13,$ $12,$ and the corresponding negative factor pairs have their negatives as sums. These ten sums are distinct, so they give $10$ distinct values of $a.$

1991 AIME 第 8 题

答案：10

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题