Question

等边三角形 $\triangle ABC$ 内接于半径为 $18$ 的圆 $\omega$ 。圆 $\omega_A$ 与边 $\overline{AB}$ 和 $\overline{AC}$ 相切，并与 $\omega$ 内切。圆 $\omega_B$ 和 $\omega_C$ 类似定义。圆 $\omega_A$ 、 $\omega_B$ 、 $\omega_C$ 两两相交，共有六个交点，每对圆有两个交点。最靠近 $\triangle ABC$ 各顶点的三个交点构成 $\triangle ABC$ 内部的一个较大等边三角形，其余三个交点构成 $\triangle ABC$ 内部的一个较小等边三角形。较小等边三角形的边长可写成 $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ ，其中 $a$ 和 $b$ 是正整数。求 $a + b$ 。

Equilateral triangle $\triangle ABC$ is inscribed in circle $\omega$ with radius $18.$ Circle $\omega_A$ is tangent to sides $\overline{AB}$ and $\overline{AC}$ and is internally tangent to $\omega.$ Circles $\omega_B$ and $\omega_C$ are defined analogously. Circles $\omega_A,$ $\omega_B,$ and $\omega_C$ meet in six points — two points for each pair of circles. The three intersection points closest to the vertices of $\triangle ABC$ are the vertices of a large equilateral triangle in the interior of $\triangle ABC,$ and the other three intersection points are the vertices of a smaller equilateral triangle in the interior of $\triangle ABC.$ The side length of the smaller equilateral triangle can be written as $\sqrt{a} - \sqrt{b},$ where $a$ and $b$ are positive integers. Find $a + b.$

答案

答案：378

知识点：相切圆等边三角形坐标几何

难度评级：2710

小提示：

先找 $\omega_A$ ：它的圆心在直线 $AO$ 上，半径是它到 $A$ 距离的一半，而与 $\omega$ 内切会固定所有量

Find $\omega_A$ first: its center lies on line $AO,$ its radius is half its distance from $A,$ and internal tangency to $\omega$ fixes everything

大提示：

$\omega_B$ 与 $\omega_C$ 的两个交点在直线 $AO$ 上，每个等边三角形的外接圆半径就是该点到中心 $O$ 的距离

The two intersection points of $\omega_B$ and $\omega_C$ lie on line $AO,$ and each triangle’s circumradius is the distance from that point to the center $O$

解答：

设 $O$ 为 $\omega$ 的圆心。 $\omega_A$ 的圆心在直线 $AO$ 上（即 $\angle A$ 的角平分线），设它到 $A$ 的距离为 $d$ 。因为 $\overline{AB}$ 与 $AO$ 成 $30^\circ$ 角，所以半径为 $r = d \sin 30^\circ = \frac{d}{2}$ 。与 $\omega$ 内切要求该圆心到 $O$ 的距离为 $18 - r$ ，这迫使圆心越过 $O$ ： $d - 18 = 18 - \frac{d}{2}$ ，所以 $d = 24$ 、 $r = 12$ ，圆心在 $O$ 的另一侧 $6$ 个单位处。

将 $O$ 放在原点，令 $A = (0, 18)$ 。则三个圆心为 $O_A = (0, -6)$ 以及 $O_B, O_C = (\pm 3\sqrt{3}, 3)$ ，半径均为 $12$ 。 $\omega_B$ 与 $\omega_C$ 的交点在 $y$ 轴上： $27 + (y - 3)^2 = 144$ ，给出 $y = 3 \pm \sqrt{117}$ 。点 $(0, 3 + \sqrt{117})$ 更接近 $A$ ，属于较大的三角形，所以较小三角形的一个顶点是 $(0, 3 - \sqrt{117})$ ，它到 $O$ 的距离为 $\sqrt{117} - 3$ 。

由对称性，较小三角形是等边三角形，外接圆半径为 $\sqrt{117} - 3$ ，因此边长为 $\sqrt{3}\left(\sqrt{117} - 3\right) = \sqrt{351} - \sqrt{27}$ 。故 $a + b = 351 + 27 = 378$ 。

Let $O$ be the center of $\omega.$ The center of $\omega_A$ lies on line $AO$ (the bisector of $\angle A$ ) at some distance $d$ from $A;$ since $\overline{AB}$ makes a $30^\circ$ angle with $AO,$ the radius is $r = d \sin 30^\circ = \frac{d}{2}.$ Internal tangency to $\omega$ requires the center to be $18 - r$ from $O,$ which forces the center past $O:$ $d - 18 = 18 - \frac{d}{2},$ so $d = 24,$ $r = 12,$ and the center is $6$ beyond $O.$

Place $O$ at the origin with $A = (0, 18).$ Then the three centers are $O_A = (0, -6)$ and $O_B, O_C = (\pm 3\sqrt{3}, 3),$ all with radius $12.$ The intersections of $\omega_B$ and $\omega_C$ lie on the $y$ -axis: $27 + (y - 3)^2 = 144$ gives $y = 3 \pm \sqrt{117}.$ The point $(0, 3 + \sqrt{117})$ is closer to $A$ and belongs to the larger triangle, so the smaller triangle has vertex $(0, 3 - \sqrt{117}),$ at distance $\sqrt{117} - 3$ from $O.$

By symmetry the smaller triangle is equilateral with circumradius $\sqrt{117} - 3,$ so its side is $\sqrt{3}\left(\sqrt{117} - 3\right) = \sqrt{351} - \sqrt{27}.$ Thus $a + b = 351 + 27 = 378.$

2022 AIME I 第 8 题

答案：378

难度评级：2710

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解答：

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