Question

函数 $f(x) = \arcsin(\log_m(nx))$ 的定义域是一个长度为 $\frac{1}{2013}$ 的闭区间，其中 $m$ 和 $n$ 为正整数且 $m \gt 1$ 。求最小可能的 $m + n$ 除以 $1000$ 的余数。

The domain of the function $f(x) = \arcsin(\log_m(nx))$ is a closed interval of length $\frac{1}{2013},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $m \gt 1.$ Find the remainder when the smallest possible sum $m + n$ is divided by $1000.$

答案

答案：371

知识点：函数对数整除性

难度评级：2560

小提示：

定义域要求 $-1 \le \log_m(nx) \le 1$ ，所以 $x$ 落在 $\left[\frac{1}{mn}, \frac{m}{n}\right]$ ，区间长度为 $\frac{m^2 - 1}{mn}$ 。

The domain requires $-1 \le \log_m(nx) \le 1,$ so $x$ runs over $\left[\frac{1}{mn}, \frac{m}{n}\right],$ which has length $\frac{m^2 - 1}{mn}$

大提示：

因此 $mn = 2013(m^2 - 1)$ 。由于 $\gcd(m, m^2 - 1) = 1$ ， $m$ 必须整除 $2013$ ；最小的 $m \gt 1$ 会使和最小。

Then $mn = 2013(m^2 - 1).$ Since $\gcd(m, m^2 - 1) = 1,$ $m$ must divide $2013,$ and the smallest $m \gt 1$ minimizes the sum.

解答：

函数有定义当且仅当 $-1 \le \log_m(nx) \le 1$ ，也就是 $\frac{1}{m} \le nx \le m$ ，因此定义域为 $\left[\frac{1}{mn}, \frac{m}{n}\right]$ ，长度为 $\frac{m}{n} - \frac{1}{mn} = \frac{m^2 - 1}{mn} = \frac{1}{2013}\text{。}$ 所以 $n = \frac{2013(m^2 - 1)}{m}$ 。由于 $m$ 与 $m^2 - 1$ 互质， $m$ 必须整除 $2013 = 3 \cdot 11 \cdot 61$ 。

因为 $n \approx 2013m$ ，所以 $m + n$ 随 $m$ 增大而增大，故取最小因子 $m = 3$ ：此时 $n = \frac{2013 \cdot 8}{3} = 5368$ ，且 $m + n = 5371$ 。

除以 $1000$ 的余数为 $371$ 。

The function is defined when $-1 \le \log_m(nx) \le 1,$ that is $\frac{1}{m} \le nx \le m,$ so the domain is $\left[\frac{1}{mn}, \frac{m}{n}\right],$ with length $\frac{m}{n} - \frac{1}{mn} = \frac{m^2 - 1}{mn} = \frac{1}{2013}.$ Hence $n = \frac{2013(m^2 - 1)}{m}.$ Since $m$ is relatively prime to $m^2 - 1,$ $m$ must divide $2013 = 3 \cdot 11 \cdot 61.$

Because $n \approx 2013m,$ the sum $m + n$ grows with $m,$ so take the smallest factor $m = 3:$ then $n = \frac{2013 \cdot 8}{3} = 5368$ and $m + n = 5371.$

The remainder upon division by $1000$ is $371.$

2013 AIME I 第 8 题

答案：371

难度评级：2560

小提示：

大提示：

解答：

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