Question

一个内接于圆的六边形，其边长按顺序为 $22$ 、 $22$ 、 $20$ 、 $22$ 、 $22$ 和 $20$ 。该圆的半径可写成 $p + \sqrt{q}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 是正整数。求 $p + q$ 。

A hexagon that is inscribed in a circle has side lengths $22,$ $22,$ $20,$ $22,$ $22,$ and $20$ in that order. The radius of the circle can be written as $p + \sqrt{q},$ where $p$ and $q$ are positive integers. Find $p + q.$

答案

答案：272

知识点：弦三角学余弦定理二次方程

难度评级：2560

小提示：

若每条长度为 $22$ 的弦所对圆心角为 $\alpha$ ，每条长度为 $20$ 的弦所对圆心角为 $\beta$ ，则 $4\alpha + 2\beta = 360^\circ$ ，所以 $\sin\frac{\beta}{2} = \cos\alpha$ 。

If each $22$ -chord subtends central angle $\alpha$ and each $20$ -chord subtends $\beta,$ then $4\alpha + 2\beta = 360^\circ,$ so $\sin\frac{\beta}{2} = \cos\alpha$

大提示：

余弦定理给出 $\cos\alpha = 1 - \frac{242}{r^2}$ ，而 $\sin\frac{\beta}{2} = \frac{10}{r}$ ；令二者相等会得到关于 $r$ 的二次方程。

The law of cosines gives $\cos\alpha = 1 - \frac{242}{r^2},$ while $\sin\frac{\beta}{2} = \frac{10}{r};$ equating them yields a quadratic in $r$

解答：

长度为 $20$ 的弦的一半给出 $\sin\frac{\beta}{2} = \frac{10}{r}$ ，而在两腰为 $r$ 、底边为 $22$ 的等腰三角形中应用余弦定理，得到 $22^2 = 2r^2(1 - \cos\alpha)$ ，所以 $\cos\alpha = 1 - \frac{242}{r^2}$ 。令二者相等，得到 $\begin{aligned} 1 - \frac{242}{r^2} &= \frac{10}{r} \\ &\quad\Longrightarrow\quad r^2 - 10r - 242 \\ &= 0 \end{aligned}\text{，}$ 所以 $r = 5 + \sqrt{267}$ （取正根）。

所以 $p + q = 5 + 267 = 272$ 。

Half a $20$ -chord gives $\sin\frac{\beta}{2} = \frac{10}{r},$ and the law of cosines on the isosceles triangle with legs $r$ and base $22$ gives $22^2 = 2r^2(1 - \cos\alpha),$ so $\cos\alpha = 1 - \frac{242}{r^2}.$ Equating, $\begin{aligned} 1 - \frac{242}{r^2} &= \frac{10}{r} \\ &\quad\Longrightarrow\quad r^2 - 10r - 242 \\ &= 0, \end{aligned}$ so $r = 5 + \sqrt{267}$ (taking the positive root).

Therefore $p + q = 5 + 267 = 272.$

2013 AIME II 第 8 题

答案：272

难度评级：2560

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题