Question

求正整数 $n$ ，使得 $\begin{aligned} &\arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{4} \\ &\quad {}+ \arctan\frac{1}{5} + \arctan\frac{1}{n} = \frac{\pi}{4} \end{aligned}\text{。}$

Find the positive integer $n$ such that $\begin{aligned} &\arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{4} \\ &\quad {}+ \arctan\frac{1}{5} + \arctan\frac{1}{n} = \frac{\pi}{4}. \end{aligned}$

答案

答案：47

知识点：三角学三角恒等式

难度评级：2360

小提示：

每次合并两项，使用 $\arctan x + \arctan y$ $= \arctan\frac{x + y}{1 - xy}$ （这里所有乘积 $xy$ 都很小）

Combine two terms at a time using $\arctan x + \arctan y$ $= \arctan\frac{x + y}{1 - xy}$ (valid here since all products $xy$ are small)

大提示：

前三个反正切之和为 $\arctan\frac{23}{24}$ ；最后一项必须把它补到 $\arctan 1$

The first three arctangents sum to $\arctan\frac{23}{24};$ the last term must top it up to $\arctan 1$

解答：

对于正数 $x, y$ ，当 $xy \lt 1$ 时，正切加法公式给出 $\arctan x + \arctan y$ $= \arctan\frac{x + y}{1 - xy}$ 。应用两次： $\begin{aligned} &\arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{4} \\ &= \arctan\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{12}} \\ &= \arctan\frac{7}{11}, \\ &\arctan\frac{7}{11} + \arctan\frac{1}{5} \\ &= \arctan\frac{\frac{7}{11} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{7}{55}} \\ &= \arctan\frac{23}{24} \end{aligned}\text{。}$

方程变为 $\arctan\frac{23}{24}$ $+ \arctan\frac{1}{n} = \arctan 1$ ，所以 $\frac{\frac{23}{24} + \frac{1}{n}}{1 - \frac{23}{24n}} = 1$ 。清除分母得 $23n + 24 = 24n - 23$ ，因此 $n = 47$ 。

For positive $x, y$ with $xy \lt 1,$ the tangent addition formula gives $\arctan x + \arctan y$ $= \arctan\frac{x + y}{1 - xy}.$ Applying it twice: $\begin{aligned} &\arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{4} \\ &= \arctan\frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{12}} \\ &= \arctan\frac{7}{11}, \\ &\arctan\frac{7}{11} + \arctan\frac{1}{5} \\ &= \arctan\frac{\frac{7}{11} + \frac{1}{5}}{1 - \frac{7}{55}} \\ &= \arctan\frac{23}{24}. \end{aligned}$

The equation becomes $\arctan\frac{23}{24}$ $+ \arctan\frac{1}{n} = \arctan 1,$ so $\frac{\frac{23}{24} + \frac{1}{n}}{1 - \frac{23}{24n}} = 1.$ Clearing denominators, $23n + 24 = 24n - 23,$ giving $n = 47.$

2008 AIME I 第 8 题

答案：47

难度评级：2360

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解答：

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