Question

定义在正整数有序对集合上的函数 $f$ ，满足下列性质：

$\begin{gathered}f(x,x)=x,\\f(x,y)=f(y,x),\\(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)\end{gathered}\text{。}$

计算 $f(14,52)$ 。

The function $f,$ defined on the set of ordered pairs of positive integers, satisfies the following properties:

$\begin{gathered}f(x,x)=x,\\f(x,y)=f(y,x),\\(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y).\end{gathered}$

Calculate $f(14,52).$

答案

答案：364

知识点：函数方程最大公约数最小公倍数

难度评级：2270

小提示：

当 $y\gt x$ 时，将第三个性质应用于 $(x,y-x)$

Apply the third property to $(x,y-x)$ when $y\gt x$

大提示：

将所得的减法规则与 $\operatorname{lcm}(x,y)$ 的相同规则比较

Compare the resulting subtraction rule with the same rule for $\operatorname{lcm}(x,y)$

解答：

当 $y\gt x$ 时，将第三个性质应用于 $(x,y-x)$ ，得到 $f(x,y)=\frac{y}{y-x}f(x,y-x)\text{。}$ 最小公倍数也满足相同关系，因为 $\gcd(x,y)=\gcd(x,y-x)$ 。因此，欧几里得算法每进行一次减法，商 $\frac{f(x,y)}{\operatorname{lcm}(x,y)}$ 都保持不变。在对角线上，该商等于 $\frac{f(g,g)}{g}=1$ ，所以 $f(x,y)=\operatorname{lcm}(x,y)$ 。因而 $\begin{aligned}f(14,52)&=\frac{14\cdot52}{\gcd(14,52)}\\&=364\end{aligned}\text{。}$

For $y\gt x,$ the third property applied to $(x,y-x)$ gives $f(x,y)=\frac{y}{y-x}f(x,y-x).$ The least common multiple obeys the identical relation, because $\gcd(x,y)=\gcd(x,y-x).$ Hence the quotient $\frac{f(x,y)}{\operatorname{lcm}(x,y)}$ is unchanged by each subtraction step of the Euclidean algorithm. On the diagonal it equals $\frac{f(g,g)}{g}=1,$ so $f(x,y)=\operatorname{lcm}(x,y).$ Therefore $\begin{aligned}f(14,52)&=\frac{14\cdot52}{\gcd(14,52)}\\&=364.\end{aligned}$

1988 AIME 第 8 题

答案：364

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

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