Question

方程 $z^6+z^3+1=0$ 在复平面上有一个复根，其辐角 $\theta$ 介于 $90^\circ$ 与 $180^\circ$ 之间。求 $\theta$ 的度数。

The equation $z^6+z^3+1=0$ has one complex root with argument $\theta$ between $90^\circ$ and $180^\circ$ in the complex plane. Determine the degree measure of $\theta.$

答案

答案：160

知识点：复数单位根

难度评级：2210

小提示：

代入 $u=z^3$

Substitute $u=z^3$

大提示：

$z^3$ 的两个可能辐角是 $120^\circ$ 和 $240^\circ$

The two possible arguments of $z^3$ are $120^\circ$ and $240^\circ$

解答：

令 $u=z^3$ 。则 $u^2+u+1=0$ ，所以 $u$ 的辐角为 $120^\circ$ 或 $240^\circ$ 。取立方根后，可能的辐角为 $40^\circ,160^\circ,280^\circ,80^\circ,200^\circ,320^\circ\text{。}$ 其中唯一严格介于 $90^\circ$ 与 $180^\circ$ 之间的是 $160^\circ$ 。

Let $u=z^3.$ Then $u^2+u+1=0,$ so $u$ has argument $120^\circ$ or $240^\circ.$ Taking cube roots gives possible arguments $40^\circ,160^\circ,280^\circ,80^\circ,200^\circ,320^\circ.$ The only one strictly between $90^\circ$ and $180^\circ$ is $160^\circ.$

1984 AIME 第 8 题

答案：160

难度评级：2210

小提示：

大提示：

解答：

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