Question

半径为 $2$ 的圆 $C$ 有直径 $\overline{AB}$ 。圆 $D$ 在点 $A$ 与圆 $C$ 内切。圆 $E$ 与圆 $C$ 内切、与圆 $D$ 外切，并与 $\overline{AB}$ 相切。圆 $D$ 的半径是圆 $E$ 半径的三倍，并可写成 $\sqrt{m} - n$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数。求 $m + n$ 。

Circle $C$ with radius $2$ has diameter $\overline{AB}.$ Circle $D$ is internally tangent to circle $C$ at $A.$ Circle $E$ is internally tangent to circle $C,$ externally tangent to circle $D,$ and tangent to $\overline{AB}.$ The radius of circle $D$ is three times the radius of circle $E$ and can be written in the form $\sqrt{m} - n,$ where $m$ and $n$ are positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：254

知识点：相切圆勾股定理根式

难度评级：2710

小提示：

设圆 $E$ 的半径为 $s$ ，并从其圆心向 $\overline{AB}$ 作垂线，垂足为 $F$ ；用勾股定理表示 $CF$ 和 $DF$ 。

Let $s$ be the radius of circle $E$ and drop its center to a foot $F$ on $\overline{AB};$ express $CF$ and $DF$ with the Pythagorean theorem

大提示：

$DF = DC + CF$ 给出 $s\sqrt{15} = (2 - 3s) + \sqrt{4 - 4s}$ ；孤立一个根式并平方两次，会得到关于 $s$ 的二次方程

$DF = DC + CF$ gives $s\sqrt{15} = (2 - 3s) + \sqrt{4 - 4s};$ isolating one radical and squaring twice leaves a quadratic in $s$

解答：

也用 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 表示这些圆的圆心。设圆 $E$ 的半径为 $s$ ，则圆 $D$ 的半径为 $3s$ ，并设 $F$ 是 $E$ 到 $\overline{AB}$ 的垂足。相切关系给出 $CE = 2 - s$ ， $DE = 3s + s = 4s$ ， $EF = s$ ，而 $D$ 在 $\overline{AB}$ 上且 $DC = 2 - 3s$ 。

直角三角形 $CEF$ 和 $DEF$ 给出 $CF = \sqrt{(2-s)^2 - s^2}$ $= \sqrt{4 - 4s}$ ，以及 $DF = \sqrt{(4s)^2 - s^2} = s\sqrt{15}$ 。因为 $F$ 与 $A$ 位于 $C$ 的相反侧，所以 $DF = DC + CF$ ，即 $s\sqrt{15} = (2 - 3s) + \sqrt{4 - 4s}\text{。}$

将 $2 - 3s$ 移到左边并平方，得到 $24s^2 - 8s = 2\sqrt{15}\,s\,(2 - 3s)$ ，也就是 $12s - 4 = \sqrt{15}\,(2 - 3s)$ ；再次平方得 $9s^2 + 84s - 44 = 0$ ，所以 $s = \frac{-14 + 4\sqrt{15}}{3}$ 。圆 $D$ 的半径为 $3s = 4\sqrt{15} - 14 = \sqrt{240} - 14$ ，因此 $m + n = 240 + 14 = 254$ 。

Let $C,$ $D,$ $E$ also name the circles’ centers, let $s$ be the radius of circle $E,$ so circle $D$ has radius $3s,$ and let $F$ be the foot of $E$ on $\overline{AB}.$ Tangency gives $CE = 2 - s,$ $DE = 3s + s = 4s,$ and $EF = s,$ while $D$ lies on $\overline{AB}$ with $DC = 2 - 3s.$

Right triangles $CEF$ and $DEF$ give $CF = \sqrt{(2-s)^2 - s^2}$ $= \sqrt{4 - 4s}$ and $DF = \sqrt{(4s)^2 - s^2} = s\sqrt{15}.$ Since $F$ is on the opposite side of $C$ from $A,$ we have $DF = DC + CF,$ so $s\sqrt{15} = (2 - 3s) + \sqrt{4 - 4s}.$

Moving $2 - 3s$ to the left and squaring gives $24s^2 - 8s = 2\sqrt{15}\,s\,(2 - 3s),$ i.e. $12s - 4 = \sqrt{15}\,(2 - 3s);$ squaring again yields $9s^2 + 84s - 44 = 0,$ so $s = \frac{-14 + 4\sqrt{15}}{3}.$ The radius of circle $D$ is $3s = 4\sqrt{15} - 14 = \sqrt{240} - 14,$ and $m + n = 240 + 14 = 254.$

2014 AIME II 第 8 题

答案：254

难度评级：2710

小提示：

大提示：

解答：

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