Question

使得恰有一个整数 $k$ 满足 $\frac8{15}<\frac{n}{n+k}<\frac7{13}$ 的最大正整数 $n$ 是多少？

What is the largest positive integer $n$ for which there is a unique integer $k$ such that $\frac8{15}<\frac{n}{n+k}<\frac7{13}?$

答案

答案：112

知识点：不等式分数极限情形界定

难度评级：1860

小提示：

分别解出两个关于 $k$ 的不等式

Solve both inequalities for $k$

大提示：

研究开区间 $(\frac{6n}{7},\frac{7n}{8})$ 内的整数

Study the integers in the open interval $(\frac{6n}{7},\frac{7n}{8})$

解答：

这两个不等式等价于 $\frac{6n}{7}<k<\frac{7n}{8}$ 。该区间的长度为 $\frac{n}{56}$ 。当 $n=112$ 时，区间为 $(96,98)$ ，其中只有整数 $97$ 。当 $n>112$ 时，区间长度大于 $2$ ，所以其中至少有两个整数。因此最大的 $n$ 为 $112$ 。

The inequalities are equivalent to $\frac{6n}{7}<k<\frac{7n}{8}.$ This interval has length $\frac{n}{56}.$ At $n=112$ it is $(96,98),$ containing only $97.$ For $n>112$ its length exceeds $2,$ so it contains at least two integers. Thus the largest possible $n$ is $112.$

1987 AIME 第 8 题

答案：112

难度评级：1860

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题