Question

设 $z_1$ 、 $z_2$ 、 $z_3$ 、 $\ldots$ 、 $z_{12}$ 为多项式 $z^{12} - 2^{36}$ 的 $12$ 个零点。对每个 $j$ ，令 $w_j$ 等于 $z_j$ 或 $\mathrm{i}z_j$ 。那么 $\sum_{j=1}^{12} w_j$ 的实部的最大可能值可以写成 $m + \sqrt{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是正整数。求 $m + n$ 。

Let $z_1,$ $z_2,$ $z_3,$ $\ldots,$ $z_{12}$ be the $12$ zeroes of the polynomial $z^{12} - 2^{36}.$ For each $j,$ let $w_j$ be one of $z_j$ or $\mathrm{i}z_j.$ Then the maximum possible value of the real part of $\sum_{j=1}^{12} w_j$ can be written as $m + \sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers. Find $m + n.$

答案

答案：784

知识点：单位根复数最优化

难度评级：2560

小提示：

这些零点是 $8\big(\cos\frac{\pi j}{6} + \mathrm{i}\sin\frac{\pi j}{6}\big)$ ，且 $\mathrm{i}z$ 的实部是 $z$ 的虚部的相反数。

The zeroes are $8\big(\cos\frac{\pi j}{6} + \mathrm{i}\sin\frac{\pi j}{6}\big),$ and the real part of $\mathrm{i}z$ is minus the imaginary part of $z$

大提示：

对每个 $j$ 独立地选取 $8\cos\frac{\pi j}{6}$ 和 $-8\sin\frac{\pi j}{6}$ 中较大的那个。

For each $j$ independently take the larger of $8\cos\frac{\pi j}{6}$ and $-8\sin\frac{\pi j}{6}$

解答：

这些零点为 $z_j = 8\left(\cos\frac{\pi j}{6} + \mathrm{i}\sin\frac{\pi j}{6}\right)$ ，其中 $j = 1$ 、 $\ldots$ 、 $12$ ，并且 $\operatorname{Re}(\mathrm{i}z_j) = -\operatorname{Im}(z_j)$ 。因为各个选择彼此独立，和的实部最大值为 $\sum_j 8\max\left(\cos\frac{\pi j}{6},\, -\sin\frac{\pi j}{6}\right)$ 。

比较两个值， $-\sin\frac{\pi j}{6}$ 恰好在 $j = 5$ 、 $\ldots$ 、 $10$ 时更大。保留的余弦值对应 $j = 1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 、 $11$ 、 $12$ ，其和为 $\begin{aligned} &\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + 0 - \frac{1}{2} \\ &\quad {}+ \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 1 + \sqrt{3} \end{aligned}\text{，}$ 保留的 $-\sin\frac{\pi j}{6}$ 值对应 $j = 5$ 、 $\ldots$ 、 $10$ ，其和为 $\begin{aligned} &-\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &\quad {}+ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3} \end{aligned}\text{。}$

最大值为 $\begin{aligned} &8\left(2 + 2\sqrt{3}\right) \\ &= 16 + 16\sqrt{3} \\ &= 16 + \sqrt{768} \end{aligned}\text{，}$ 所以 $m + n = 16 + 768 = 784$ 。

The zeroes are $z_j = 8\left(\cos\frac{\pi j}{6} + \mathrm{i}\sin\frac{\pi j}{6}\right)$ for $j = 1,$ $\ldots,$ $12,$ and $\operatorname{Re}(\mathrm{i}z_j) = -\operatorname{Im}(z_j).$ Since the choices are independent, the maximum real part of the sum is $\sum_j 8\max\left(\cos\frac{\pi j}{6},\, -\sin\frac{\pi j}{6}\right).$

Comparing the two values, $-\sin\frac{\pi j}{6}$ is larger exactly for $j = 5,$ $\ldots,$ $10.$ The cosines kept, for $j = 1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $11,$ and $12,$ sum to $\begin{aligned} &\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + 0 - \frac{1}{2} \\ &\quad {}+ \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = 1 + \sqrt{3}, \end{aligned}$ and the values $-\sin\frac{\pi j}{6}$ kept, for $j = 5,$ $\ldots,$ $10,$ sum to $\begin{aligned} &-\frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &\quad {}+ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3}. \end{aligned}$

The maximum is $\begin{aligned} &8\left(2 + 2\sqrt{3}\right) \\ &= 16 + 16\sqrt{3} \\ &= 16 + \sqrt{768}, \end{aligned}$ so $m + n = 16 + 768 = 784.$

2011 AIME II 第 8 题

答案：784

难度评级：2560

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解答：

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