Question

在 $\triangle ABC$ 中， $BC = 23$ 、 $CA = 27$ 、 $AB = 30$ 。点 $V$ 和 $W$ 在 $\overline{AC}$ 上，且 $V$ 在 $\overline{AW}$ 上；点 $X$ 和 $Y$ 在 $\overline{BC}$ 上，且 $X$ 在 $\overline{CY}$ 上；点 $Z$ 和 $U$ 在 $\overline{AB}$ 上，且 $Z$ 在 $\overline{BU}$ 上。此外，这些点的位置满足 $\overline{UV} \parallel \overline{BC}$ 、 $\overline{WX} \parallel \overline{AB}$ ，以及 $\overline{YZ} \parallel \overline{CA}$ 。然后沿着 $\overline{UV}$ 、 $\overline{WX}$ 和 $\overline{YZ}$ 作直角折叠。所得图形放在水平地面上，形成一张有三角形桌腿的桌子。设 $h$ 为由 $\triangle ABC$ 构造出的、桌面平行于地面的桌子的最大可能高度。那么 $h$ 可写成 $\frac{k\sqrt{m}}{n}$ ，其中 $k$ 和 $n$ 是互质的正整数，且 $m$ 是不被任何素数平方整除的正整数。求 $k + m + n$ 。

In $\triangle ABC,$ $BC = 23,$ $CA = 27,$ and $AB = 30.$ Points $V$ and $W$ are on $\overline{AC}$ with $V$ on $\overline{AW},$ points $X$ and $Y$ are on $\overline{BC}$ with $X$ on $\overline{CY},$ and points $Z$ and $U$ are on $\overline{AB}$ with $Z$ on $\overline{BU}.$ In addition, the points are positioned so that $\overline{UV} \parallel \overline{BC},$ $\overline{WX} \parallel \overline{AB},$ and $\overline{YZ} \parallel \overline{CA}.$ Right angle folds are then made along $\overline{UV},$ $\overline{WX},$ and $\overline{YZ}.$ The resulting figure is placed on a level floor to make a table with triangular legs. Let $h$ be the maximum possible height of a table constructed from $\triangle ABC$ whose top is parallel to the floor. Then $h$ can be written in the form $\frac{k\sqrt{m}}{n},$ where $k$ and $n$ are relatively prime positive integers and $m$ is a positive integer that is not divisible by the square of any prime. Find $k + m + n.$

答案

答案：318

知识点：海伦公式相似最优化

难度评级：3060

小提示：

从一个顶点折下的翻片垂下的深度等于该顶点到折线的距离，所以三条折线都必须离对应顶点距离为 $h$

A flap folded down from a vertex hangs to a depth equal to the distance from that vertex to its fold line, so all three fold lines must be at distance $h$ from their vertices

大提示：

切同一条边的两条折线不能重叠：对每条边， $h$ 乘以另外两条边的边长之和不超过三角形面积的两倍；其中最大的边长和给出起决定作用的限制

Two folds cutting the same side must not overlap: for each side, multiplying $h$ by the sum of the other two side lengths gives at most twice the triangle’s area; the largest such sum is the binding constraint

解答：

记 $a = BC = 23$ 、 $b = CA = 27$ 、 $c = AB = 30$ ，并设 $K$ 为 $\triangle ABC$ 的面积。由海伦公式，半周长为 $40$ ，所以 $K = \sqrt{40 \cdot 17 \cdot 13 \cdot 10}$ $= 20\sqrt{221}$ 。当一个顶点处的角被直角折下时，翻片垂下的深度等于该顶点到折线的距离，因此若水平桌面的高度为 $h$ ，每条折线都必须离对应顶点距离为 $h$ 。

顶点 $A$ 处的翻片与 $\triangle ABC$ 相似，相似比为 $\frac{h}{\frac{2K}{a}} = \frac{ha}{2K}$ （用 $h$ 除以从 $A$ 到 $\overline{BC}$ 的距离），所以它占用了边 $\overline{AB}$ 上的 $AU = c \cdot \frac{ha}{2K}$ ；同理，顶点 $B$ 处的翻片在同一边上占用 $BZ = c \cdot \frac{hb}{2K}$ 。两条折线恰好不相交的条件是 $AU + BZ \le c$ ，也就是 $h(a + b) \le 2K$ 。另外两条边给出 $h(b + c) \le 2K$ 和 $h(c + a) \le 2K$ 。

起决定作用的限制来自最大的和 $b + c = 57$ ，所以最大高度为 $h = \frac{2K}{57} = \frac{40\sqrt{221}}{57}\text{，}$ 因此 $k + m + n = 40 + 221 + 57$ $= 318$ 。

Write $a = BC = 23,$ $b = CA = 27,$ $c = AB = 30,$ and let $K$ be the area of $\triangle ABC.$ By Heron’s formula with semiperimeter $40,$ $K = \sqrt{40 \cdot 17 \cdot 13 \cdot 10}$ $= 20\sqrt{221}.$ When the corner at a vertex is folded down at a right angle, the flap hangs to a depth equal to the distance from that vertex to the fold line, so for a level tabletop of height $h,$ each fold line must lie at distance $h$ from its vertex.

The flap at $A$ is similar to $\triangle ABC$ with ratio $\frac{h}{\frac{2K}{a}} = \frac{ha}{2K}$ (dividing $h$ by the distance from $A$ to $\overline{BC}$ ), so it uses up $AU = c \cdot \frac{ha}{2K}$ of side $\overline{AB};$ likewise the flap at $B$ uses $BZ = c \cdot \frac{hb}{2K}$ of the same side. The two folds fit without crossing exactly when $AU + BZ \le c,$ that is, $h(a + b) \le 2K.$ The other two sides give $h(b + c) \le 2K$ and $h(c + a) \le 2K.$

The binding constraint comes from the largest sum, $b + c = 57,$ so the maximum height is $h = \frac{2K}{57} = \frac{40\sqrt{221}}{57},$ and $k + m + n = 40 + 221 + 57$ $= 318.$

2011 AIME I 第 8 题

答案：318

难度评级：3060

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题