Question

假设 $x$ 在区间 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 中，且 $\log_{24 \sin x}(24 \cos x) = \frac{3}{2}$ 。求 $24 \cot^2 x$ 。

Suppose $x$ is in the interval $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ and $\log_{24 \sin x}(24 \cos x) = \frac{3}{2}.$ Find $24 \cot^2 x.$

答案

答案：192

知识点：对数三角恒等式因式分解

难度评级：2650

小提示：

将方程改写为指数形式，并两边平方，得到 $\cos^2 x = 24 \sin^3 x$

Rewrite the equation in exponential form and square both sides to get $\cos^2 x = 24 \sin^3 x$

大提示：

用 $1 - \sin^2 x$ 替换 $\cos^2 x$ ，并在得到的关于 $\sin x$ 的三次方程中寻找有理根

Replace $\cos^2 x$ by $1 - \sin^2 x$ and look for a rational root of the resulting cubic in $\sin x$

解答：

指数形式的方程是 $(24 \sin x)^{\frac{3}{2}} = 24 \cos x$ 。两边平方得 $24^3 \sin^3 x = 24^2 \cos^2 x$ ，所以 $\cos^2 x = 24 \sin^3 x$ 。

令 $s = \sin x$ ，并用 $\cos^2 x = 1 - s^2$ ，得到 $24s^3 + s^2 - 1 = 0$ ，它可因式分解为 $(3s - 1)(8s^2 + 3s + 1) = 0$ 。二次因子判别式为负，所以 $\sin x = \frac{1}{3}$ 。

于是 $\begin{aligned} 24 \cot^2 x &= 24 \cdot \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} \\ &= 24 \cdot \frac{\frac{8}{9}}{\frac{1}{9}} \\ &= 24 \cdot 8 = 192 \end{aligned}\text{。}$

In exponential form the equation says $(24 \sin x)^{\frac{3}{2}} = 24 \cos x.$ Squaring gives $24^3 \sin^3 x = 24^2 \cos^2 x,$ so $\cos^2 x = 24 \sin^3 x.$

Writing $s = \sin x$ and using $\cos^2 x = 1 - s^2,$ we get $24s^3 + s^2 - 1 = 0,$ which factors as $(3s - 1)(8s^2 + 3s + 1) = 0.$ The quadratic factor has negative discriminant, so $\sin x = \frac{1}{3}.$

Then $\begin{aligned} 24 \cot^2 x &= 24 \cdot \frac{1 - \sin^2 x}{\sin^2 x} \\ &= 24 \cdot \frac{\frac{8}{9}}{\frac{1}{9}} \\ &= 24 \cdot 8 = 192. \end{aligned}$

2011 AIME I 第 9 题

答案：192

难度评级：2650

小提示：

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解答：

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