Question

方程组 $\begin{aligned} &\log_{10}(2000xy) \\ &\quad {}- (\log_{10} x)(\log_{10} y) = 4 \end{aligned}$ $\log_{10}(2yz) - (\log_{10} y)(\log_{10} z) = 1$ $\log_{10}(zx) - (\log_{10} z)(\log_{10} x) = 0$ 有两个解 $(x_1, y_1, z_1)$ 和 $(x_2, y_2, z_2)$ 。求 $y_1 + y_2$ 。

The system of equations $\begin{aligned} &\log_{10}(2000xy) \\ &\quad {}- (\log_{10} x)(\log_{10} y) = 4 \end{aligned}$ $\log_{10}(2yz) - (\log_{10} y)(\log_{10} z) = 1$ $\log_{10}(zx) - (\log_{10} z)(\log_{10} x) = 0$ has two solutions $(x_1, y_1, z_1)$ and $(x_2, y_2, z_2).$ Find $y_1 + y_2.$

答案

答案：25

知识点：对数方程组换元法因式分解

难度评级：2560

小提示：

代换 $a = \log_{10} x$ 、 $b = \log_{10} y$ 、 $c = \log_{10} z$ ，把每个方程都化为关于 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的多项式方程。

Substitute $a = \log_{10} x,$ $b = \log_{10} y,$ $c = \log_{10} z$ to make each equation polynomial in $a,$ $b,$ $c$

大提示：

三个方程可因式分解：前两个变为 $(1 - a)(1 - b)$ $= (1 - b)(1 - c)$ $= \log_{10} 2$ ，第三个变为 $(1 - c)(1 - a) = 1$ 。

Each equation factors: the first two become $(1 - a)(1 - b)$ $= (1 - b)(1 - c)$ $= \log_{10} 2,$ and the third $(1 - c)(1 - a) = 1$

解答：

令 $a = \log_{10} x$ 、 $b = \log_{10} y$ 、 $c = \log_{10} z$ 。由 $\log_{10} 2000 = 4 - \log_{10} 5$ ，第一个方程化为 $a + b - ab = \log_{10} 5$ ，也就是 $(1 - a)(1 - b)$ $= 1 - \log_{10} 5$ $= \log_{10} 2$ 。同理，第二个方程给出 $(1 - b)(1 - c)$ $= 1 - (1 - \log_{10} 2)$ $= \log_{10} 2$ ，第三个方程给出 $(1 - c)(1 - a) = 1$ 。

前两个式子相除（ $1 - b \ne 0$ ），得 $1 - a = 1 - c$ 。由第三式， $(1 - a)^2 = 1$ ，所以 $1 - a = \pm 1$ 。若 $1 - a = 1$ ，则 $1 - b = \log_{10} 2$ ，因而 $b = 1 - \log_{10} 2 = \log_{10} 5$ 、 $y = 5$ ，对应解 $(x, y, z) = (1, 5, 1)$ 。若 $1 - a = -1$ ，则 $1 - b = -\log_{10} 2$ ，因而 $b = \log_{10} 20$ 、 $y = 20$ ，对应解 $(x, y, z) = (100, 20, 100)$ 。

因此 $y_1 + y_2 = 5 + 20 = 25$ 。

Let $a = \log_{10} x,$ $b = \log_{10} y,$ $c = \log_{10} z.$ Using $\log_{10} 2000 = 4 - \log_{10} 5,$ the first equation becomes $a + b - ab = \log_{10} 5,$ which factors as $(1 - a)(1 - b)$ $= 1 - \log_{10} 5$ $= \log_{10} 2.$ Similarly the second equation gives $(1 - b)(1 - c)$ $= 1 - (1 - \log_{10} 2)$ $= \log_{10} 2,$ and the third gives $(1 - c)(1 - a) = 1.$

Dividing the first two (note $1 - b \ne 0$ ) yields $1 - a = 1 - c,$ and then the third equation gives $(1 - a)^2 = 1,$ so $1 - a = \pm 1.$ If $1 - a = 1,$ then $1 - b = \log_{10} 2,$ so $b = 1 - \log_{10} 2 = \log_{10} 5$ and $y = 5$ (indeed $(x, y, z) = (1, 5, 1)$ works). If $1 - a = -1,$ then $1 - b = -\log_{10} 2,$ so $b = \log_{10} 20$ and $y = 20$ (from $(x, y, z) = (100, 20, 100)$ ).

Therefore $y_1 + y_2 = 5 + 20 = 25.$

2000 AIME I 第 9 题

答案：25

难度评级：2560

小提示：

大提示：

解答：

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