Question

求立方的末三位为 $888$ 的最小正整数。

Find the smallest positive integer whose cube ends in $888.$

答案

答案：192

知识点：模运算个位数字二次方程

难度评级：1880

小提示：

个位数字说明该数必形如 $10a+2$

The units digit forces the number to have the form $10a+2$

大提示：

先将 $(10a+2)^3\equiv888\pmod{1000}$ 模 $125$ 化简

Reduce $(10a+2)^3\equiv888\pmod{1000}$ first modulo $125$

解答：

将该数写成 $10a+2$ 。把所需同余式模 $125$ 展开并除以 $5$ ，得到 $20a^2-a-1\equiv0\pmod{25}\text{。}$ 先模 $5$ 化简，得 $a\equiv4\pmod5$ ；再代入 $a=4+5b$ ，得 $b\equiv3\pmod5$ 。因此 $a\equiv19\pmod{25}$ ，最小候选值为 $10(19)+2=192$ 。它是偶数，所以其立方也满足 $0\pmod8$ ，且确有 $192^3=7{,}077{,}888$ 。

Write the number as $10a+2.$ Expanding the required congruence modulo $125$ and dividing by $5$ gives $20a^2-a-1\equiv0\pmod{25}.$ Reducing first modulo $5$ gives $a\equiv4\pmod5;$ substituting $a=4+5b$ then gives $b\equiv3\pmod5.$ Thus $a\equiv19\pmod{25},$ and the smallest candidate is $10(19)+2=192.$ It is even, so its cube is also $0\pmod8,$ and indeed $192^3=7{,}077{,}888.$

1988 AIME 第 9 题

答案：192

难度评级：1880

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 9 题