Question

求 $\frac{9x^2\sin^2x+4}{x\sin x}$ 在 $0<x<\pi$ 时的最小值。

Find the minimum value of $\frac{9x^2\sin^2x+4}{x\sin x}$ for $0<x<\pi.$

答案

答案：12

知识点：算术-几何平均不等式三角学最优化

难度评级：2300

小提示：

令 $t=x\sin x$ ，它在给定区间内为正

Set $t=x\sin x,$ which is positive on the given interval

大提示：

对 $9t+\frac4t$ 应用均值不等式，并验证等号可以成立

Apply AM-GM to $9t+\frac4t$ and verify that equality is attainable

解答：

令 $t=x\sin x>0$ 。原式化为 $9t+\frac4t\geq2\sqrt{9t\cdot\frac4t}=12\text{，}$ 等号在 $9t=\frac{4}{t}$ ，即 $t=\frac{2}{3}$ 时成立。连续函数 $x\sin x$ 的值趋于 $0$ （当 $x$ 趋于 $0$ 时），且函数值 $\frac{\pi}{2}>\frac{2}{3}$ 对应于 $x=\frac{\pi}{2}$ 。因此，它会取得值 $\frac{2}{3}$ ，且取值点位于 $(0,\frac{\pi}{2})$ 内，所以下界 $12$ 可以取得。

Let $t=x\sin x>0.$ The expression becomes $9t+\frac4t\geq2\sqrt{9t\cdot\frac4t}=12,$ with equality when $9t=\frac{4}{t},$ or $t=\frac{2}{3}.$ The continuous function $x\sin x$ tends to $0$ as $x$ tends to $0$ and equals $\frac{\pi}{2}>\frac{2}{3}$ at $x=\frac{\pi}{2}.$ Thus it takes the value $\frac{2}{3}$ somewhere in $(0,\frac{\pi}{2}),$ so the lower bound $12$ is attained.

1983 AIME 第 9 题

答案：12

难度评级：2300

小提示：

大提示：

解答：

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